其他
数学是发明还是发现?
来源 |《数学与物理最前沿》
迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929年4月22日~2019年1月11日），英国数学家，毕业于剑桥大学三一学院，前英国皇家学会会长，被誉为20世纪最伟大的数学家之一。 迈克尔·阿蒂亚出生于英国伦敦，童年时代在中东地区度过，1945年跟随家人移居英国，之后以前三名的成绩考入剑桥大学三一学院。1955年获得博士学位，毕业后在普林斯顿高等研究院、剑桥大学彭布罗克学院、牛津大学等学术机构研究、任教，并在1962年成为英国皇家学会会员。
迈克尔·阿蒂亚爵士的主要研究领域是几何，而到20世纪70年代他把重心转移到数学物理学上。 1960年代他与艾沙道尔·辛格建立合作关系，共同证明了阿蒂亚-辛格指标定理，该定理在数学的一些领域均有重要作用。因此他在1966年荣获菲尔兹奖，2004年又与艾沙道尔·辛格共同获得阿贝尔奖。除此之外，迈克尔·阿蒂亚爵士在拓扑、微分方程、数学物理、代数等领域也有杰出成就。1983年，被英国皇室授予下级勋位爵士。1992年，获得英国功绩勋章。
“数学，是发明还是发现?”，这是一个相当富哲学性的题目。这个题目并非专为数学家而设，而是适合更广泛的读者。我们真正关心的，是数学与现实世界及其他事情之间的关系。
数学可以说是处于艺术和科学之间的学科，而数学和科学的关系，几乎人所共知。例如牛顿、麦克斯韦(James Clerk Maxwell)和爱因斯坦所提出的理论，是建基于很坚实的数学基础之上。反过来，科学家的观察和理论验证，又对数学的发展产生很大的影响。然而，数学与艺术之间的关系，便不是那样显而易见了。
数学是艺术也是科学
人们认为，艺术和数学是两码子事，其实两者之间是有关联的。首先，数学是建基于逻辑——严密的逻辑思维。在哲学领域里，同样也十分注重逻辑和思考分析。例如，两位在不同年代的伟大哲学家，古希腊的柏拉图和近代的罗素，他们亦为数学家，因为二人的思想都采用大量数学语言，无可置疑，逻辑属于哲学的一部分。
同时，逻辑也是建构艺术的基础。
当我们说到某些艺术的项目，如绘画，便会趣用到很多透视的方法，也即是空间里的三维观点;透视圆法，亦被视为绘画艺术发展的一大发现。又例如音乐，音乐使用了音符作为基础，但当中的和弦其实是一种十分精确和美妙的数学形式，这也表现出艺术和数学的关系。建筑学追求的是建筑物的美，这取决于建筑物本身的比例和规模等;无论是几何学，或几何学建筑，都是建筑学中的十分重要的部分。
数学与大量艺术项目之间的关系可谓千丝万缕。概言之，艺术就是主观的美。在物理学，对美的追求，是来源于艺术的基本概念。同样，对美的追求，在数学亦是重要的环节;因此可以说，数学既是艺术，也是科学。
科学和艺术之间的区别，可以这样加以阐释——科学家孜孜不倦去钻研和发现在他眼前的世界，借着科学我们可以发现事物的真相和自然世界的法则，比如科学家发现了高温超导电性，这个发现就是建基于从观察中得出的论据。另一方面，艺术则是人类的一种创作。人在思考中，获得了重要的发现和感悟，这个发现的基础并非建立在理性思考，而是在感情上。
表面上，艺术和科学是根本上相逆的东西，但事实并非如此。
数学模型来自思维概念
让我从人类发展的历史，回溯到数千年前，现实世界和人类之间有什么关联。什么是现实世界?它意味着什么?当时的人类是如何思考这个世界?我们不理解现实世界，也不理解思维，更不理解它们之间的关系。
这是其中一个重要的哲学问题。当然，哲学问题并不必然有确切的答案。我们能通过提出问题，从中学习获得智慧，但却永不能得到一个确切的答案。因此，古今哲学家为了一个哲学问题，而消磨了上千年时间。事实上，人类提出科学理论，是把我们所观察到的事物，以一个模型或框架去理解、解释和发展规律。这样，在某种程度上，科学理论和数学模型十分类似。它们都是人类思维内的概念，我们可将这些概念，加诸在外间所观察的事物，好以理解它们。
因此，在某程度上，科学有两个部分，包括外间实验的数据，以及人类内在思维所得的数学模型，并尝试把两者融合起来，得到一个整体的认识。同样的，艺术也有两个部分。一、源于艺术家发自内在感受的创作，二、在外在物理上所受到的约束。例如，数学结构和建筑物的透视点都受到来自外在的约束，是艺术家不能置之不理的。
所以，艺术家应用他们的创作，但也是生活在各种已被发现的“框架”之内，所谓“鱼在水中，水也在鱼中”。在某程度上，艺术和科学都分享着同样的特性，就是它们在“发现”这些框架，并在这框架之内进行各种创作。
这框架是科学所仗赖的数据，或是我们研究能力所及的范围。艺术家同样面对框架，但他们尝试把自己的意念形象化。理性和感性是科学的基础，也是艺术的基础，但大多数人都认为，二者是河水不犯井水，甚至风马牛不相及。然而，从近年有关人脑的研究，我们知悉了一些令人振奋的成果，它显示出人脑中理性和感性，彼此相互影响着“你中有我，我中有你”。或许，我们能在将来对这方面知道更多，了解更多。所以，数学是艺术也是科学。
柏拉图世界是早已存在还是创造出来的?
让我们尝试从多种方法去说明这两个方面。问题在于，数学家所发现的东西，是存在于现实世界中?还是存在于柏拉图式的理想世界?柏拉图用他构想的概念来理解数学，例如，他认为圆形可以是完美的。但完美的圆，在现实世界中从不存在，所有我们所画的圆形，总会带点棱角。
事实上，完美的圆形只是一种想法。我们现在称柏拉图式的世界，确实是一种想法，一个理想世界。在现实世界中，我们见到的圆形，只是柏拉图理想世界的一种想法、反映和替代。但也有人相信，柏拉图世界确实存在，在那里，所有伟大的数学想法都能完美地、和谐地共存。然而，现实世界里竟存在着杂乱，于是科学家便以某些方法，把现实世界和想像世界两者合并。
接下来，大家也许会问:究竟柏拉图式的世界是否从一开始就存在，只待我们去发现吗?抑或纯粹是人类智慧所创造的?它是一件发明还是一次发现?也就是说，我们发明了柏拉图式的世界，接着，这个理想世界反映了现实世界。
这是一个已存在了上千年的疑问。这正是一条我们可以辩论，却会获得不同答案的问题。一般来说，我们从一些基础层面的例子去探讨这些问题，会比进行抽象层面的哲学讨论，会更加有效。因此，我将透过一些简单的例子，去讨论这个问题:数学是一种发明，或是发现?
在进一步讨论之前，让我指出一点。香港是一个以商业为本的城市。许多人们来到大学念书或教书，都难免考虑到金钱和物质的问题。从这方面来说，发明和发现之间的一个主要区别，就是透过发明可以获得专利权，从中可以赚取金钱，而发现却不是。例如，马克士威引进了电磁学理论，如果他发现的公式可以取得专利，恐怕他已经和微软的盖茨一样富有了。但是，你不能为自己所发现的东西取得专利权。人类基因组是近期另一个例子，并且引起了许多争论，比如说，我们能否为人类基因的发现而取得专利?因为这个题目涉及庞大的利益，所以经常引起广泛的争论。因此，这是一项发明还是发现的问题，不纯然是一个哲学议题，也引起了强烈的商业回响和争论。
现在，让我先以柏拉图和希腊人的数学概念作为我们讨论的一个例子。柏拉图感兴趣的其中一个问题，是著名的“正多面体”，也被称为“柏拉图立体”。“正多面体”有 5 个:正四面体，由4 个三角形组成;正六面体，即正立方体;正八面体，即一个双金字塔;正十二面体，每一个面皆是正五边形;正二十面体，每一个面皆是等边三角形。一个正四面体有4个顶点，6 条边和4个面;正方体有 8 个顶点，12 条边和 6 个 面;正二十面体，有20 个三角形的表面，12 个顶点，和30条边。同时，它们成双出现，就是面的数目和顶点的数目，可以互相交替，称为对偶。首要的问题是，像正二十面体或其他立体的这些物体，究竟是被发现还是被发明出来?
你可以争论:立方体是一件明显存在于周围中的东西，就像方糖一样;而四面体或许也是这样。但是，于大自然中找到正二十面体却十分困难。我不认为它们以任何形式存在，所以，正二十面体看来更加像是一件人类的发明。虽然它的存在归功于柏拉图，但我发现事实上在公元前2000年，即4000年前的苏格兰，便存在着正二十面体和所有5个正多边形立体。这比柏拉图的年代更早出现，至少比柏拉图早了千年。这些可能是文物的石块，出现于苏格兰还没发展出高度文明的一个时代里，而当时已经有人研究出如何做出全部五个立体。
起初，我估计它是个某时某地某些天才做出来的个别例子，但似乎还不止如此，因为那里有数以百计这样的石块，遍及整个苏格兰。因为某些未知的原因，当时有人发现这些石块，并对它们爱不释手，然后更受到整个社会的重视。这是一次十分重要的观察，迄今为止，在一个没有已知文字或文明的古代竟然有古人发明这些数学物体，实在令人百思不得其解。当然，我并不知道这是否最远古的例子。或许在4000年前的中国，也有人曾经发现正二十面体，但至少迄今为止，苏格兰仍保持这项记录。
到了今天，我们发现了当中一些奥秘，这些数字之间存在一些简单的关系。这些立体的数学关系是欧拉(Leonhard Euler)发现的，被称为“欧拉公式”。
F+V-E=2:顶点(V)的数目减去边(E)的数目加上面(F)的数目等于2。
从这五个例子，我们很容易便能得出这个简单的关系。但欧拉想得更深，他观察出的规律，不仅能套用到柏拉图立体上，更能套用到所有球体内接的立体上，所有这些立体的数字之间都能符合这种关系。讨论至此，你也许会问，这是一种发现，还是一件发明?我偶能找到更多，但能将这个公式应用得多远?
结果，它成为数学里一个十分重要的公式。数百年来，这公式有不同的演变，但它仍然是数学中的核心部分。事实上，中国数学家陈省身教授的研究工作，都与这公式有密切关系。如果我们能在自然界中发现这些公式，就能看得见这些事物。如果二十面体是你发明的，你就是发明了这条公式。
这就是有关发现还是发明的讨论的第一个例子。
有多少数是上帝的创造?
让我回溯得更远。数学中，最原始的是什么?数学是从哪儿开始?也许你会回答:由数和计算开始，1、2、3、4、5.....一堆整数。著名的德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker)说:“整数是上帝创造的，其余都是由人所凑成”。人类发现了整数，又制造所有其他的东西。
第一个问题是，0又如何呢?0也是一个整数。在1之前，首先是0。0无疑也是一个重要的整数。它是一件发明，还是一种发现?0早就存在，抑或是我们的发明?我真想说0是一个发明，但事实上这是个很难处理的问题。
然后是十进位的标记法。当我们开始写下数，就是在组织数。同时，十进位的标记法是在数学中一个十分重要的部分。它当然不是一早就出现的，罗马人写了一个复杂的数学系统。在我来香港讲学暂住的饭店房间里，书桌上放了一个日历，上面印着小小的中文数，但这些数我看不懂，对我来说，它们就像罗马数一样。但无论如何，十进位的记数法是伟大发展的一步。有时候我会尝试认为它是一个发明，但是你也许会说数早就存在了，上帝所发明的世界早就如此，只是我们后来才发现它罢了。
再进一步讨论下去。数学家对整数又做了些什么?是的，数学家有时会埋首于有趣的事情上，他们并非对所有数都有兴趣，却去深究质数，质数是不能被分解成其他因数的整数。我都知道，6是2乘3的积。但如果将不可分解成因数的数字依次写出来，它们是2、3、5、7、11、13，可以无穷无尽地写下去;只是，数学家很难找到一个规则去描写出它们的全貌。专门研究数论的数学家喜欢质数，因为在分析整数的过程中，你可以将所有整数分解成质数的积。因此，质数可以被当成是整数的构件部分。构件往往具有引人入胜的吸引力，如果想了解某事物的结构，你将要仔细观察它的构件，从构件揭开它的面纱。原子是物质的构件，所以质数是算术的构件。
2的平方根是个什么样的数?
那么，长度又如何?长度是数，例如1、2、3、4、5，都是数。长度由数代表，而数又代表了长度单位?假如你拿一把尺子、一条绳或其他，你可标出它的长度。也就是说，长度是在现实世界中，一样能够量度的重要东西。当希腊人接触长度时，他们发现并非每个长度都能以数呈现出来。举例说，我们以一个单位长度作为一个正方形的边长，这个正方形的对角线的长度应该是一个数，而根据勾股定理，这条对角线的长度又应该是2的平方根。反过来说，这个数的平方，就是1+1。
2 的平方根这个数存在吗?迄今为止，所有的数都是整数或者是分数(例如:)。如果2的平方根这个数不是整数，它会是一个分数吗?很容易就可以证明 2 的平方根又不会是一个分数。
我来给大家做一个论证:我们用两个整数p、q来组成一个分数，这两个数可以约分时我们先将它们约分，到最后我们可以假设这两个数不会都是偶数。假设2的平方根=;，将这个算式平方，可得出，从而得知p是偶数。然后将p设为r的2倍，以2r取代p放回算式中，得出，互相再以2相抵，得出q=2r，从这里看，q是个偶数。这跟我们上面的假设又抵触了，所以又不能将2的平方根这个数写成一个分数。
这是数学其中一个最美的逻辑推论，证明出 2的平方根并不是一个有理数。这又会是个什么样的数呢?这个数存在吗?可以书写出来吗?这是个吊诡。2的平方根作为这个长度的数确实存在，但又不能写成那样，于是我们不得不发明一些数来表述这个数，其中一个方法，就是利用十进制，把2的平方根写成 1.4142135623731....。有些非凡的数学家能不假思索，就可以把这个数的 100 个小数位都写出来，我就做不到，只能自叹不如。
实数的发明是一大进步，但这个发明是由量度现实世界的物件而来的，因此我们也得建立一个方法，去处理这问题。
虚数是人类的重要发明
虚数的发明让数学进入了新阶段了。按照上文所说的规则，当一个数自乘时，得其平方时，这个数总是个正数。当两个正数相乘可得正数，而负数也会产生正数:所以没有任何一个数的平方是负数。算术的规则不允许这样的数存在，它不具有任何意义。
但是，如果我们非得要把它写下来，这个数被称为虚数。数百年来，数学家不断争论，这诡秘的东西能否被书写呈现，并严谨地加以应用，到最后又能否应用到现实世界，大家对这些问题存疑。数百年来，这概念都不被接纳或被束之高阁。幸而到最后，数学家解决了，并接受了虚数。这是人类的发明，因为它不存在于世间，同时因为人类发现虚数的定律，在数学中很有用处，电子工程师也愿用它，甚至成为量子力学中一个重要的根基。
这是个很大胆的声明，有人反对这种说法吗?大家都同意它不存在，然而，我们能在数学和物理学中，能得到惊人而丰硕的成果。这是一种巨大的成就，也肯定是人类超越性的发现。我们不能看见虚数在周遭出现，但我们接触和应用它，从中得到巨大的成就。事实上，数学家花了整整 300 年才做出来，它不是单个数学家的发明，而是群策群力创造出来，是人类集体思想的心血，经历了几百个寒暑，也难怪当时最伟大的数学家，对此也探索良久，甚至穷一生之力，孜孜不倦为此做出贡献而无悔。
我们再看数学中一些扣人心弦的故事。数学中，有一些特定的数或常数，被称为宇宙基本常数，它确实在数学中起了重要的作用。
圆周比率是周期性现象的基本常数
第一个——。所有进过学校的人都会应用过这一个圆形的圆周跟直径比率的数值。如果你想透过一个公式计算它，你首先要画一个圆，并且在圆里面内接一个多边形。你可以增加边的数目，并量度多边形的周界，这个多边形的周界肯定会比圆周小。但是如果我们将多边形的边的数量不断增加，亦即是把这个多边形的边长不断的缩短，所得出这个多边形的边长便会越来越接近圆周。如果我们继续且不断重复上述步骤，我们所得出的这个圆周与直径比率的量度结果将会愈来愈接近。希腊人和阿基米德正是由此方法得到很准确的。所以，是很基本的。当然，你也可以认为，这只是个愚笨的几何学家才会做的事。谁会关心圆周和直径的比率?但是，事实上是最基本的常数;它在数学和物理学中起了一个举足轻重的角色。
道理很清楚，因为与一些周期性的现象有关系，即是任何循环和重复的事情，都派上用场。地球和太阳的运动、钟表上的时间，任何会振动的事物都有周期性的模式，所有那些对周期性现象的描述都会包含基本的常数。会在所有数学和物理学的教科书中的常数出现，它是你能想出的最通用的数。也可以说，它是人类文明其中一块基石。
指数函数e是计算增长数字的基本常数
另一个几乎有同等基础性，但有一点较难理解的是e，指数函数的基数。e约等于2.718，是2和3之间一个实数。这个数的重要性有其基本原因，其一是它跟物种的数目增长有关，包括人、细菌或动物。在任何一代，一个个体被取代成两个，就好像父母二人共有 4 个后代。如此，它的数量就会倍增，到了下一代又再会倍增，这快速的增长称为“指数增长”。如果这情况继续出现，而且没有人死亡，那么没多久地球的食物就会耗尽，炎祸立至。事实上，这真的值得人类警惕，因为上个世纪的全球人口几乎是以指数增长的。所以，我们面对的一大难题，是当人口超越极限后，我们如何维生?世界人口现在已逾60亿，而且预计将会达到 90 亿，有些甚至预计得更多，怎么办?
这是人类人口的问题，但是，我们也可以将之套用于小动物、或传播病害的细菌的问题上，他们可以指数地增长和传播病害。
这个数学概念也可以在金融世界中应用，而复合利率的计算是基于指数函数的计算方式。假设你有一笔银行存款，每年结束时，银行经理给你一个额外的比例，例如x，x可以是5%，或者更慷慨地他给你10%的额外款项。如果他们不是每年给你一次，而是每半年一次，即使是同样一个按年比率，你都会获得更多的款项。因为在前半年你已经得到了()%的额外款项，下半年的这个()%，是基于本金加上半年已取得利息的总和而计算，即是在本金加上半年利息之上得到的利息，这种计算利息的方式稍为复合利率。假如是每季给你计算一次又会是怎样呢?你将会得到更多。假如是每天给你计算一次呢?你将会得到更加多。假如他们每秒，或每毫秒一次呢?你会否得到更多，变得更富有?
答案是:这是有上限的。你最多可以得到的是。假设x是1，就是说，你有一名十分慷慨的银行经理，给你百分之百的利息，你最多可以得到多少?答案是，在一年结束时你将会得到本金的2.718倍。假使你在银行的存款是 100 元，如果银行给你的年利息是1，按年息计算，你得到的利息是100元。不管复式的计算次数有多大，你所获得最大可能的额外利息是 71.8 元。
因此，无论大家对钱、人口还是对病菌的增长感兴趣，都需要知道指数函数。
上文所述的和e是数学上的两个基本常数。
最美丽的公式:
在现实世界同样也有基本常数。当人们(或智灵生物)在行星之间互相通讯，就如美国国家航天局发射火箭到太空，当火箭到达遥远的某处，可能我们会想传输些资讯给其他智慧生物，来证明我们是聪明的。这样，我们会想放些什么在火箭上而令对方可以了解?其中一样可放的是某些数字，因为我们相信，远方的文明也会找到这些常数。所以，我们可以放上e和。但当然我们也可以放物理常数。假如对方是不错的物理学家，他们可能想计算质子质量和电子质量的比率，或许我们也可以把这些比率放在那些资讯中。但是，数学常数还是比较容易理解的。放一个正二十面体可能也是个好提议，来看看外星人是否知道正二十面体。
事实上，有很多好东西是在语言以外的，独立于我们所认识的语言。但在一个适合的模式，他们是会懂得这些数学。如果有人问:在数学中，哪一个公式最美丽?我想所有数学家都会同意，就是以下这一个公式。
什么是?很简单，你可把它代入x+yi，经过运算，答案是-1。这是在数学最奇妙的公式，因为在单一条公式中，包括三个最重要的数字:-1的平方根i、和e。这条令人惊叹的公式，包含了最基础的意义。正因如此，它是如此的美妙。同时，我亦视这公式为数学界里，可与文学界最著名的句子媲美——莎士比亚四大悲剧之一的《哈姆雷特》里“to be,or not to be”。句子简短，但是这十分简单的句子却蕴含一个深厚的意义。所以，数学家其实同样有美的触觉。数学和艺术相同，两者依赖于同样的理念，就是既简单又深刻。
数学对物理学的非凡贡献
接着我们转谈几何学。几何学曾被欧基里德(Euclid)和其他希腊学者浸淫研究，德国哲学家康德对此也反复思量。事实上，几何学就是空间，就算我们的脑袋早就决定了空间是怎样的模样，但是我们还是用发展出来不同的实验去钻研它。
在19世纪时，醉心于欧氏几何学的人，发现了欧氏几何以外的几何学。我们发现有一些空间是不符合欧氏定律的，我们称之为非欧几何学。从波尔约(Janos Bolyai)、罗巴切夫斯基(Nikolai IvanovichLobachevsky)、高斯(C.FGauss)等数学家的研究成果得知，这种几何学在某程度上，类似欧氏几何学，只不过是空间弯曲了。继而有德国数学家閔可夫斯基(Hermann Minkowski)，最后爱因斯坦将之用作时空的曲度，作为对重力场的阐释。这里的万有引力，是建基于于时空弯曲的想法。然而，当中其实有不只一种几何学。
几何学不光牵涉平面，也可有弯曲空间，能够最终引领爱因斯坦的理论。
我爱引用物理学家维格纳(Eugene Wigner)在《数学在自然科学中不合理的有效角色>(TheUnreasonable Effectiveness of Mathematics in NaturalSciences)一文中一句话。他指出:在所有不同的方法中，数学对物理学有着非凡的贡献。也许你会奇怪，为何这些比较愚蠢的数学家做出来的数学，会由才智之士的物理学家所应用，但事实正是如此。那么，我们可能同时会问一个相关的问题:数学是一个发明或者发现吗?
如果数学是被发现出来的，它显然是源于自然世界;如果是人类脑筋所发明的，为什么它运作得如此美好?甚至运行得几乎完美无瑕?如果你相信神是宇宙的创造者，那就是神造人，他创造宇宙，并且由他建立数学的原理。当人们开始探索世界时，发现自己能以数学来解释物理学，洞察世界，揭开世界的面纱。
如果你是柏拉图派，相信柏拉图，你会认为在物理世界以外还有柏拉图式概念的世界，而我就是用它来构建物理世界。你也可以是达尔文派，并且说人类头脑的演变是进化的结果。在现实世界为了生存，人类的头脑不能不驾驭外间的物理定律。否则:我们就不会被大自然选中，甚至在物竞天择中难逃被淘汰的厄运。这样，物竞天择就选了符合物理定律的思维。
然而，这种辩解并不能令人信服，但可算是个好的讨论起点。近年来令人惊奇的一件事情，是不懂数学在物理学中显得非常有效，很多从物理学而来的成果，在数学中也显得非常有效。甚至当数学家和物理学的工作是风马牛不相及时也是如此，彼此竟可互相启发、互相增益。从今天的物理理论中，我们可找到十分值得注意的数学发现。这个关系是双向的，也令人更难以理解。现代物理学超越了爱因斯坦的四维时空，已走向高维时空。
人类认知以外的高维度
如今我们有更高维的几何学。在一维空间中，我们有一条直线或者一条曲线，有一个参数。在二维空间中，我们有平面或者膜。在三维空间中，我们有空间，很有可能是弯曲了的空间。而在四维空间中，我们有爱因斯坦常用的空间和时间。其他更高的维度呢?5，6，7，8，9，10，11 维又如何?在数学中，数学家可以想出任何他们喜欢的东西。因此，为何不能有五维空间?在三维空间的一个点被指为坐标，在五维空间就可以有，毫无难度，只要将它们放在一起便可。如果你是物理学家，你能将之想像为自由度，即是有多少个运动的方法。1个粒子有3个运动的方法，但当2个粒子独立地运动，它们共有6个自由度。如果你想要描述2 个粒子的一个容器的状态，你将要用 6 维空间。所以高维度也占了一席位了。在 19 世纪，数学家开始研究它们，但像之前的虚数一样，高维度是深奥的，并不那么容易为人接受。当时英国的数学家西尔维斯特(Sylvester)，为高维度撰了个新词“超乎构想”(inconceivable)。因为他认为，高维超出了人类脑袋所能构想的。
但西尔维斯特也觉得这不是一个问题，因为他相信任何虚构事物，他相信i，认为虚数有超乎构想的维度。遗憾地，这词没有流行过，这确实是一个好的词，但是事情发展得太快了，现在物理学家在接受高维度空间的存在时，我们没有一个词能够表明，它是超出想像的。在现代物理学里，高能物理学中的弦论，提出了我们其实处于高于4 维的空间。这 4维的空间就是时空，但是，这里也同时有其他的维度，这共有10或11维度，即是有原来 4 维空间，和额外的 6 维度。
这些额外的维数在某程度上，可算是细小并且紧紧地弯曲的。除非我们有一个十分强大的放大镜，否则我们根本就看不见。它就像一条电线一样，却有一个额外的尺寸、厚度。除非我们在显微镜中细心观察它，否则只能看见它像一条直的线。想像今天的物理学。我们需要的放大镜是一台高能加速器。在研究细小的空间时，我们需要有高的能量。这就是现代的物理学的一个画面，它有更高的维度。高维度是你不能以平常方式去看，但可在高能量时研究它们。
由于巴布森(Babson)，现在我们有间接的证据去证明这些理论模型，跟实验结果是一致的。虽然我们不能直接看见较高的维度，但是我们能间接地探索它们，侦测到它们的影响。我们可以往后推论这些维度是真实的存在，因为这跟实验所得的是一致的。但问题始终是:它们是已存在的，抑或是人类脑袋创造出来，借此让我们去了解大自然?我们始终要下一个定论，假如它是用来了解大自然，那么，这是数学上正确的事。但无论大自然是否真的如此，或是装成如此，甚至是我们把它看成如此，统统都不重要，而且这是不能去验证的想法。也就是说，在实验室观察到的，能否奠下一个关于高维的更精细的图像，这是我们所不知道的。
现在这个问题愈来愈无法回避。今日世界的物理变得更加复杂，而这类高维的、弦论的模型，在近年变得愈来愈精密，所以它影响的数学也愈来愈广。然而问题是:这世界果真是如此复杂，抑或只是我们从自己的观点，把它看得如此复杂?例如，我们将要到另一行星，远方的智灵生物构想的东西，跟我们构想的是否相同?他们会否构想额外的维，又会如何去想像它?所以，这是很难去了解我们所建立的数学模型，会否有真实物理的意义。我在上文简略地讨论过达尔文的推化论及其对人类智慧的构成，我想回到这个问题的讨论，因为人类的脑袋，就是进行数学探讨的地方，当我们讨论柏拉图的理想空间时，哪里才是理想空间?这其实是在人类的集体智慧之内。这是概念的住处，除此以外，我们再找不到任何地方了。假如你将概念放在纸上，纸上所示的不是概念，只是个图片，事实上，概念是收在人类的思想中或者更深处。
抽象概念是数学的灵魂
物理学使用数学模型，而数学则建立于人类脑子中。人类的大脑很可能是进化出来的。同时，进化是由物竞天择，当中基于物理学和生物化学而来。所以某程度上，我们会见到一个循环。因为有这些物理定律，人类的大脑成了这个模样;但人类的大脑利用数学得出物理定律，这俩不断循环。我们可以提出一问题:我们对大脑的结构有多少认识?这将会是下一世纪的大问题。
运用先进的扫描技术，神经生理学家已经发现了很多和大脑有关的知识。我们发现，大脑里面有化学反应和电路，也掌握了扫描的各个步骤。我们开始对大脑的运作有了个初步的认识，虽然所知不多，但开始知道多一些，当中包括大脑很可能涉及抽象的运算。你可能会认为，大脑处理视觉等具体的资料时，它们组织起来的方法会涉及抽象的讯号，变得有如密码一样。但是，这些讯号并非直接反映了某件实体，而是被编成为一些抽象的密码。事实上，数学也是建基于抽象概念。究竟人类如何获得这种抽象概念的能力?
数学收集了大量的事物。当发现有一些事物是共有的，就追溯并整理出来，建立出想法和概念，进而加以细心分析。抽象概念就是数学的灵魂。单一个数学概念之所以能应用到现实世界的不同地方，就是因为我们在不同层面对它可以有不同的演绎。与此同时，抽象概念看来在某形态上可以反映大脑的操作，大脑内的回路某程度上有着数学的结构。今天，神经生理学家开始以科学的角度去解答哲学家过往提出的老问题，还有关意念和决策的问题。以往哲学家讨论的问题都是循环不息的，没有确切答案，但现时我们有了个切入点，去了解这些问题。当然，我们得到的也许不是答案，而是产生更多的疑问。
讨论到这里，让我作一个扼要总结。传统上，意念跟物质是分开处理的。意念，是属于人内在的;物体，是属于外在的。我们的问题是，这双方有什么关联?物质果真存在吗?抑或只是一种想像?意念将物体实现出来，抑或体现了其他?这是属于哲学家的问题。但有一点是很清楚的，数学建基在意念之上，而物理学是研究物体。数学和物理之间的问题，是意念和物体之间的问题的缩小版。然而，数学和物理学的先后关系是怎样?
可以说，脑子是意念的实体基础。意念就是从脑子内部结构中，透过未知的方法浮现出来，这使我们的问题变得不扎实。脑子当然由物质组成，它有实际的成分，脑子是数学和物理学被阐明的地方。当我们有数学的理论，或有关于几何学的概念，它可能以某种形式记在脑内;而脑子是现实世界的一部分，也是其中最重要的核心。哲学家必须把脑子是否由物质所组合，并以某种方式进行思考纳入讨论，否则他们便无法谈论实在细节，也无法确定实在的问题。也许这就是困扰人类几千年的真正问题所在。
随着科学和研究的精进，我们未来将会知道更多关于大脑的运作，及它和意念的关系。在某程度上神经生理学的进步，可以令有关数学、物理学和科学的疑问都会变得更加清晰。
都是以“美”作为选择的准则
在总结时，让我用另一个方法，去回答有关发现还是发明的疑问。无论是在现实世界或是在理想世界，不论是由意念组成还是由原子组成，都有千千万万个可能出现的情况。如果我可用符号的话，我有千千万万个不同组合的方法。如果是物质，我可随意造出不同分量的物质。如果是数学符号，我可以写出很多方程式，有些方程或许是正确的，有些是错的。当我们写下一条理论，或当数学家建立一条理论时，他会从一大堆正确的方程式中提炼出一些方程式。他会选取其中一项去做研究，或者选一项他感兴趣的问题去攻关。他的选择方式和艺术家或作家选字摘句其实没有两样。
假如将猴子放在打字机前，提供足够的时间，它可以写下整套莎士比亚的著作。这当然是可能的，但这随机过程需时很漫长;莎士比亚则是抄了猴子的捷径，他去“拣选”字词，从一切自己所知道的文字中，根据一些准则选出美妙的字词;而数学家也从应该正确的方程中，根据一些准则去选择方程式。物理学家也用相同的方法做事。他们做出了一切可行的事，然后选择如何去落实。我们现在使用的那些准则，当然是决定结果的基础。
在某程度上我想说，数学家和作家的准则就是美。
请注意:当莎士比亚写作时，他挑选美丽的字词去撰写。所谓美的文字，“美”涵盖了意义、声音、雅致:包括美的各个方面。数学家选择研究方程式:也因为它是美的。为什么它们是美?因为有下列这些因素:雅致、简单、深刻、普遍性。这样许多事情都与美连上关系，而正是美这个标准，使数学家从众多方程中作出选择。同时，美也令数学家做出正确的选择。人类这种投入和参与，就如发明的过程一样。发明就是从一切的可能性中选择你想研究的，一切的可能性就放在眼前。这就是你的发明。
发明就是从零去开始一件新事物。不论在现实世界或理想世界，我们都是从一切可能性中，去找某样具潜质发展的事物。这就是人类的活动。我们可以从观念中强调数学、艺术和科学都是人类活动;而人类扮演的角色，是根据我们决定的准则作出选择。而这美的标准包括，简单、雅致、意义.....一切一切。科学就是这么一个过程，并成为整个人类知识架构的一部分。我们就是试图理解外部世界、理解大自然的科学家。
然而，“理解”也是一个深奥的概念。理解是什么意思?如果你细心思考，你将发现你不知道答案。所谓理解，是脑子得到资料后，对资料着手处理，令它可被理解、有条理等等，这一切全都依赖脑子如何运作。脑子如何理解秩序和结构?它实际情况如何?我们不知道。作为数学家，我想希望用自己的脑子解决问题。物理学家使用他们的脑子解决实体世界的事情。但是在这之前，必须要有某些东西在他们的脑袋里先行运作，因此重要的是，要认识到数学和所有事情都是人类活动，都是一种自发自动的过程。有人说:如果你有电脑，你就不再需要数学家。因为它能处理资料和为你做妥一切事情。但是，所有机器都要处理成千上万的定理，选择哪一个?最终还是需要人类去选择材料、组织，以取得进一步的发展。科学也是一样。
所以，到最后，发明和发现同时出现，发明的部分就是人类的贡献。