撸猫么？那种生死状态并存的？不如来撸薛定谔方程吧！

薛定谔方程，是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的量子力学中的一个基本方程，薛定谔方程也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。然而，时至今日，近百年来，人类还只能得出氢原子的薛定谔方程的精确解，对于多电子原子的薛定谔方程的精确解，人类显得束手无策；但是，人类一直不断通过近似解去接近精确解，尽管困难重重，但科学的探究不就是这样，在不断突破极限中勇攀高峰吗？

接下来，我们就将简单回顾一下，自2020年以来科学家关于对多电子薛定谔方程精确解的研究。

九十年前的挑战：现在可以解了吗？

1.PNAS：来自90年前的挑战—解薛定谔方程特征值的下界

厄米算子特征值的里兹上界在科学中的许多应用中都是必不可少的。它是量子化学和物理计算的主要内容。1928年由坦普尔设计的下限则不成立，因为它收敛得太慢。对一个好的下界定理和算法的需要不能被夸大，因为一个上界单独是不足以确定特征值之间的差异，如隧道分裂和光谱特征。此文中，经过90年的发展，来自以色列魏茨曼科学研究所的Eli Pollak等人，对Temple的下界进行了推广和改进。给出了非平凡格点模型哈密顿数的基于Lanczos三对角化的数值例子，证明了在13个数量级范围内的收敛性。这个下界通常至少比Temple的结果好一个数量级。它的收敛速度与里兹上界的收敛速度相当。它并不局限于基态。这些结果补充了里兹的上界，并可将下界的计算转化为物理和化学中主要的特征值和谱问题。

参考文献：Lower bounds to eigenvalues of the Schrödinger equation by solution of a 90-y challenge. Rocco Martinazzo, Eli Pollak. Proceedings of the National Academy of Sciences Jul 2020, 117 (28) 16181-16186; 

DOI: 10.1073/pnas.2007093117

原文链接：

https://www.pnas.org/content/117/28/16181

非线性双周期解：详细解

2.PRA：聚焦非线性薛定谔方程的双重周期解:递推、周期加倍和常规调制不稳定带外的放大

有限背景上的孤子，又称呼吸子，是聚焦非线性薛定谔方程的解，它在描述异常波和调制不稳定性方面起着关键作用。呼吸子家族包括Akhmediev呼吸子(AB)、库兹涅佐夫-马(KM)和游隼孤子(PS)，它们已被成功地用于描述几种物理效应。这些解的族实际上只是由Akhmediev, Eleonskii和Kulagin导出的更一般的三参数解的特殊情况。由于有更多的参数要改变，这个明显更广泛的族比上面提到的它的子集更有潜力描述更多的实际兴趣的物理效应。这类解决方案的复杂性使研究人员无法深入研究它们。在这里，来自法国里尔大学的Matteo Conforti等研究者，克服了这个困难，并报告了从更详细的分析中产生的几个影响。即，研究者给出了双重周期解及其傅里叶展开式。尤其是，研究者概述了这些解的一些显著性质。在这些效应中，研究者提到(a)规则和移位递归，(b)周期加倍，(c)频率在常规调制不稳定增益带之外的小周期扰动的放大。

参考文献：Doubly periodic solutions of the focusing nonlinear Schrödinger equation: Recurrence, period doubling, and amplification outside the conventional modulation-instability band. Matteo Conforti, Arnaud Mussot, Alexandre Kudlinski, Stefano Trillo, and Nail Akhmediev. Phys. Rev. A 101, 023843.

https://doi.org/10.1103/PhysRevA.101.023843

原文链接：

https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.101.023843

PauliNet：深度神经网络求解 

3. Nature Chemistry：电子薛定谔方程的深度神经网络解

目前，电子薛定谔方程只能对氢原子进行解析求解，而数值精确的全构型相互作用方法在电子数上的代价是指数级的。量子蒙特卡罗方法是一种可能的解决方法:它们能够很好地适应大分子，它们可以并行化，而且迄今为止，它们的准确性仅受到所使用波函数ansatz的灵活性的限制。在这里，来自德国柏林大学的Jan Hermann & 美国莱斯大学的Frank Noé等研究者，提出了PauliNet，一个深度学习波函数ansatz实现了电子薛定谔方程最多有30个电子分子的接近精确的解。PauliNet内建了一个多参考的Hartree Fock解决方案作为基准，整合了有效波函数的物理，并使用变分量子蒙特卡洛进行训练。PauliNet在原子、双原子分子和强相关线性H10方面优于以前的最先进的变分方法，并匹配了高度专业化的量子化学方法在环丁二烯的过渡态能量，同时计算效率高。

参考文献：Hermann, J., Schätzle, Z. & Noé, F. Deep-neural-network solution of the electronic Schrödinger equation. Nat. Chem. 12, 891–897 (2020). 

https://doi.org/10.1038/s41557-020-0544-y

原文链接：

https://www.nature.com/articles/s41557-020-0544-y#citeas

从头算解法：多电子薛定谔方程的深度神经网络求解 

4. PRR：深度神经网络的多电子薛定谔方程的从头算解

如果能得到多电子薛定谔方程的精确解，几乎所有的化学都可以从第一原理推导出来。有趣的化学系统的精确波函数是无法达到的，因为它们通常是NP-难计算的，但是可以使用多项式缩放算法找到近似。这些算法的关键挑战是选择波函数近似，或Ansatz，它必须在效率和精度之间进行权衡。神经网络作为精确的实用函数逼近器和自旋系统的紧凑波函数Ansatz已显示出令人印象深刻的能力，但电子结构的问题要求波函数服从费米-狄拉克统计。在这里，来自英国帝国理工学院的David Pfau等人，介绍了一种新的深度学习结构，费米子神经网络，作为一个强大的波函数Ansatz多电子系统。费米子神经网络能够对各种原子和小分子达到超越其他变分量子蒙特卡罗安萨茨的精度。除了原子位置和电荷，研究者不使用任何数据，预测氮分子和氢链的解离曲线，这两个具有挑战性的强相关系统，以显著高于耦合团簇法，被广泛认为是最精确的可伸缩的平衡几何量子化学方法。这表明，深度神经网络可以提高变分量子蒙特卡洛的精度，使其优于其他从头计算量子化学方法，从而为以前难以处理的多电子系统的波函数的精确直接优化开辟了可能。

参考文献：David Pfau, James S. Spencer, Alexander G. D. G. Matthews, and W. M. C. Foulkes. Ab initio solution of the many-electron Schrödinger equation with deep neural networks. Phys. Rev. Research 2, 033429. 

DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.2.033429

原文链接：

https://journals.aps.org/prresearch/abstract/10.1103/PhysRevResearch.2.033429 

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