回答一位老师关于模型的问题

 张老师：请教您几个问题

        1、在小学数学中像“鸡兔同笼”这样的问题是否属于数学模型？
        2、大约二十年前小学数学应用题也是分为一些典型类型来学习的，例如：归一应用题、归总应用题、相遇问题、追击问题、和倍、差倍问题、盈亏问题、植树问题、分数乘除法应用题……，它们也都有自身的基本结构，是否也可以看做是数学模型？
        3、从传统的应用题教学到课程改革之后的问题解决、数学建模，有什么本质的区别？传统的应用题教学教师归类教学，学生把握一类问题的基本思维模式推广应用，是否也可以看做是建模的过程？还是说传统应用题教学教师讲授为主，现在问题解决以学生自主建构为主辅助教师启发式教学，本质是教学方法、学习方式的不同？作为小学一线教师应如何把握？
        4、现在教材中问题解决中常常伴随着计算教学，问题解决和计算教学在同一课时完成难点比较集中学生客观上有困难易出现学习困难，在教学实践中应如何把握？
        河北 沧州 杨X
 （没有征得这位老师的同意，故隐去其大名）

杨老师好，我试着回答一下你的问题。你的问题事实上都比较复杂，可能得多说几句话。水平所限，不一定能令你满意。

       1、模型的思想在人类文明史上非常重要。说得稍远一点，文艺复兴以前，人们的思想受亚里士多德为代表的目的论的控制。比如说，为什么会下雨？是为了浇灌庄稼。为什么要浇灌庄稼？是为人了类要有食物。为什么要使人有食物？是为了人类要生存？人类为什么要生存？是为了一心一意的侍奉上帝。现在看起来，这一切好象很可笑，但当时真是这样。亚里士多德用了很多时间试图解释抛向空间的物体为什么会落到地面上来。他认为，每个物体都有一个自然位置，物体的自然状态就是处于静止中的自然位置。重物体的自然位置是地球的中心，也是宇宙的中心。所有物体都倾向于它的自然位置，于是产生了运动。古希腊人还认为圆是最完美的图形，所以天体都作圆周运动，这种自然的运动不需要产生和维持这种运动的力。写《古今数学思想》的克莱茵戏称，这类种解释是“二分观察加八分美学与哲学”。直到中世纪以后，以伽利略为代表，人们不再从分析自然现象的原因出发，而是努力定量的描述自然现象。比如说，一个物体往下落（自由落体），伽利略不再考虑原因是什么，而是努力用数学来描述这种现象。S=1/2gt^2，这个式子就确定了初速度为0的物体在自由落体运动时，时间与位移的关系。这个公式没有涉及物体为什么要下落，只是刻画物体是如何下落的。这个公式就成为自由落体运动的模型。所谓数学模型，其实就是用数学的语言来描述某类现象。从这个意义上说，你提到的那些都是模型。

      2、 我理模型有层次性。加法是一种模型，可以刻画两个量的“合并”也可以刻画两个量的比较。乘法也是一种模型，可以刻画“一对多”的现象（如一张桌子四条腿，这是就一对多，腿数与桌子数的关系，就可以用乘法来刻画）。乘法模型具体化一点，在所谓行程问题中成了速度时间路程的关系，在工程问题中成了工效时间总量的关系，购物时有单价数量总价的关系，这些都是乘法模型的具体化。追及，相遇等，又是对速度时间路程模型的进一步具体化。模型越具体，针对性就越强，但应用范围就越窄。于是就带来了一个问题，我们到底要把模型具体化到什么程度？这样的问题没有统一的答案。我个人不反对对问题进行适当分类。因为这符合人们认识客观世界的规律。但也不宜分得过细。比如归一问题和归总问题，似乎就是一类。比如简单的行程问题，我们不应该分为求速度的、求时间的、求路程的这样一个个研究。

     3、按说，问题解决，数学建模与传统的应用题教学是有些区别的。比如：水库中标有某种记号的鱼有2000条，占水库中鱼的总数的5%，水库中一共有多少条鱼？这是传统的应用题。我想估计水库中有多少条鱼，想着先捕上一批，比如2000条吧，作上某种标记后放回，过几天再捕上一批（比如1000条吧），看里面有多少条是带有那种标记的（比如50条）。这时发现捕上来的鱼中，标有记号的占5%，于是估计整个水库中标有记号的鱼也占5%，从而估计水库中鱼的总数（2000/5%）。这是数学建模（建立的是一种概率模型）。小学生这种建模的能力是比较弱的，这样从头到尾——从现实问题出发，设计模型，收集数据，进行数学处理，得到结论，在实践中检验，调整模型——思考并解决问题的经历，偶尔有之即可，若每个问题都如此，恐怕也受很多条件限制，难以落实。老师们有 这方面的意识就好，太可不必完全推翻原来应用题教学的教学方式重起炉灶，搞一套基于数学建模的问题解决教学模式并应用于所有的问题解决教学过程。

      4、简单的计算教学（比如加减乘除），涉及的问题情境比较简单，应该不会构成太大的困难。有些运算性质的教学，问题情境稍稍复杂一点，但有利于对性质的理解。