数学竞赛培优讲座：证明数列不等式的递推法

  文/曹程锦（许兴华数学/选编）

数学竞赛培优讲座：证明数列不等式的递推法

（西安市西北工大附中  曹程锦）

众所周知，证明不等式的方法多种多样，技巧层出不穷，本文介绍递推法，它在证明一些较为复杂的代数不等式时显得特别有效，数学归纳法就是一种常用的递推法．

【证明】 要证明的不等式与正整数 ｎ 有关，可考虑用数学归纳法进行证明．

对 ｎ 进行归纳， ｎ ＝１时，显然成立等号；

假设 ｎ ＝ ｋ 时结论对于任意 ｋ 个正数成立，则当 ｎ＝ ｋ ＋１ 时，对于任意 ｋ ＋１ 个正数

即 ② 成立，因此，当 ｎ ＝ ｋ ＋１时结论成立．

故由归纳法知，所证不等式成立．

【评注 】　 利用归纳假设后，将问题转化为证明不等式 ② ，为利用柯西不等式创造了条件．证明过程中，合理创设并利用好递推的基础是关键．

【评注】　 在此题中，命题人巧妙地将数列、数学归纳法、琴生不等式、柯西不等式、对勾函数等重要的数学知识点和深刻、朴素的数学思想方法自然有机地融合成一个协调的整体，体现了数学创造力的本质应是一种卓越的数学结构组织能力．

的证明转化为证明不等式 ② ，此时根据不等式 ②的结构自然容易想到应用琴生不等式来处理．要想到这一步，除了要由代数结构的相似特征展开联想外，还必需深刻理解认识琴生不等式的理论及实践应用价值：它是微积分研究曲线凹凸性的副产品，是许多著名不等式之“根”，是许多著名不等式之“友”，也是证明诸多不等式问题的“有力武器” ．

通过对以上几道竞赛试题的分析，我们发现，与数列有关的不等式问题，往往难度较大，要认清数列的项之间的关系，挖掘出试题背后的函数背景，解题时可以灵活利用递推法的思想来处理．

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