三角函数问题中的换元思想

（许兴华数学）

1.“换元思想”是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的数学解题思想方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂问题得到简单化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元。 

2.换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。  它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

3.  换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

4.有些三角函数题，若根据题设信息特征，恰当选择变量进行代换，可改变原题的结构，转化为对新变量的讨论，从而优化解题途径。

  （一）用换元思想求三角函数的值域

  （二）用换元思想求三角函数的参数的取值范围

  （三）用换元思想求三角函数值或化简

  （四）用换元思想证明三角不等式

  （五）用数列型的换元思想解决三角函数的求值问题

  （六）用换元思想求三角函数的最大最小值

(说明：本法的例题用到"导数"的知识，高一学生暂时无法阅读)

从上述的讲解可知，变元处理之“换元思想”技巧，具有神奇的转化功能 ， 它能化陌生为熟悉 、化复杂为简单、化无理为 有 理 、 化 分式 为整式 ， 非常值得我们大家不 断地探索学习，我们要勤于思考，善于观察发现题目的结构特征，以方便我们掌握思想方法，学会灵活应用． 

欢迎关注微信公众号"许兴华数学":