立体几何奇妙一招：如何速算平面的一个法向量？

（南宁三中  许兴华数学）

【摘要】在大学里矩阵和行列式的非常重要的作用就是解方程组了，矩阵那部分是用初等变换法解方程组，行列式这里就是克莱母法则了，同学们要记牢！正如牛顿最早使用有向线段表示向量一样，莱布尼茨在1693年给洛必达的信中就已经使用了行列式，对行列式的贡献和影响比他人大一些。但就写作时间而言，最早提出行列式的概念的是日本数学家关孝和，比莱布尼茨早十年。

在立体几何的空间向量方法中，我们用得最多的一种计算就是：求一个平面的法向量n。

    现在我们就来给大家简要地介绍“用行列式的方法求平面的法向量”。

现在我们就来给大家简

上面的知识点属于大学数学内容，大家都没有学过。看起来是不是很复杂？大家基本上没有看懂，是吗？

没关系的！只要你认真阅读下去，下面老师就让你逐步掌握这种方法。用这种方法求平面的法向量的特点是：简单明了，不易出错！

     那么，如何利用行列式来求平面的一个法向量呢？

具体说来，有以下一些重要知识点：

（1）二阶行列式的计算：四个数排成两行两列，就称为一个“二阶行列式”。

上面右图中的红色实线叫做“主对角线”，黑色虚线叫做“次对角线”。

所以，上面左图的式子的含义是：二阶行列式的值等于“主对角线”两数的乘积减去“次对角线”两数的乘积的差。

（2）简单的三阶行列式：九个数排成三行三列，就称为一个“三阶行列式”（如下图）

（3）如下图3，如果我们要快速求平面ABC的法向量，如何求呢？

（4）公式的简单应用：

说明：在具体运用中，由于（-2,-4,-2）=-2(1,2,1)，为了计算简便，上面例1的法向量u可取为(1,2,1).

（5）巩固知识练习题：

（用上面介绍的求平面法向量的方法求解下列三个题目）

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