莫为浮云遮望眼, 拨开迷雾见真颜|高考数学研究
【来源】许康华竞赛优学。
1 考题探源
1.1 背景之1(第(I)小问)——往年及积分背景
2013年陕西高考理科——21.——本小题满分14分
由上面最后一个代数不等式与积分型柯西不等式代数结构的相似性联想应用积分型柯西不等式, 进而可得如下美妙解法:
证毕.
评注: 这个证明较为巧妙, 先通过构造二次函数的思想协助证明积分型柯西不等式, 再利用积分型柯西不等式证明原不等式, 将其运用的恰到好处, 在处理问题的观点上体现了哲学中事物普遍联系相互转化的道理, 同时也体现了数学内在的统一之性, 可视为数学中的一次“机缘巧合”.
图 1
评注: 本题的证明实际上给出了原题的几何解释, 再延伸一下(曲边梯形ABCD的面积大于梯形ABEF的面积, 其中点P为过线段AB的中点G做横轴的垂线与曲线的交点, 过点P的切线与BC、AD的交点分别为E、F), 还可得
这个方法巧妙的运用了积分(定义)思想, 即有限与无限思想(用有限刻画无限, 用限研究有限), 有机结合数形结合思想(以形助数, 以数辅形), 以牛顿--莱布尼茨公式(导数和积分本是同“根”, 同为极限, 一脉相承)为转化的“金色桥梁”, 将不等式的代数结构演绎为两个图形的面积, 使不等式证明问题转化为一个比较两个图形面积大小的几何问题, 赋予了不等式两边代数式以生动的几何涵义, 给出了不等式的几何解释, 可以看做是运用几何思想解决不等式的一个新思路, 其来历是原不等式为绝对的大于(或者小于), 于是可以演绎为两个明显不等的面积关系.
背景1说明及引申: 由法1、2可得如下不等式成立:
据此, 可编拟2016年高考数学全国卷Ⅱ理科第21题压轴题第(Ⅰ)小问.
1.2 背景之2(第(II)小问)——ex泰勒展式及推论
定理
(2)式左边的证明 对n用数学归纳法来证.
(3)式的证明 对n用数学归纳法来证.
背景2说明及引申: 泰勒展式定理在数学分析中具有较高理论和应用价值, 被誉为一元微分学的顶峰(一元微分学皇冠, 是拉格朗日中值定理的引申和推广, 而拉格朗日中值定理则处于中心位置, 向四周辐射), 其原型为
据此, 可编拟2016高考新课标2压轴题第二问. 由泰勒展式定理及推论还可编拟如下试题
题目 (2010高考全国新课标卷理科第21题第(2)小题)
题目 (2012年卓越联盟自主招生笔试第14题)
二、探索启示
通过本文的探索可得到如下启示:高考数学命题主要往六大背景上集中: 课本背景; 高等背景; 竞赛背景; 往年背景; 名题背景; 生活背景. 本文所讨论题目的命制特点则主要体现为以高等及往年试题背景为依托命题. 这便启发广大一线数学老师, 在复习教学立足课本夯实基础的前提下(课本是根是关键, 强根固本方可求活变通, 方可枝繁叶茂! ), 应加大对近年高考压轴真题的关联性研究(考题之间应存在某种亲缘关系), 在高三后期综合复习中展开以近年高考压轴真题(近年高考真题体现了命题风格、命题热点、命题形式, 有利于考生适应高考情景, 提高复习的针对性)为基本素材的研究性学习, 对其溯流追源, 引导学生不断寻找题目创新解法, 比较优劣, 优化解法, 系统总结, 得到解题普遍性、一般性规律. 实践表明对预测未来高考命题发展趋势及考试内容的方向, 对提高学生基本数学素养与科学创新能力具有重要而积极的指导意义.
由于高考是为高等院校选拔新生的, 由于高考命题是以高校教师为主体的, 为了给创新试题提供新鲜情景, 为了考查学生继续深造的潜能, “试题在主体上考查中学数学的同时, 体现进一步学习高等数学的需要”是很自然的. 近年高考压轴题多次出现以拉格朗日中值定理、泰勒定理、积分型柯西不等式、琴生不等式、贝努利不等式、卡尔曼不等式、阿贝尔变换、伯恩斯坦多项式、不动点定理、切比雪夫多项式、一元三次方程卡丹求根公式、实变函数压缩映像定理等高等数学分析著名定理为背景编制的题目——已成为热点. 然而, 我们必须清醒的认识到, 高等背景只是“考能力的载体”(考知识应是超纲的), 其解答只用到中学的知识和方法—高等背景, 初等解法, 所以, 重要的是教学生“化归为课堂上已经解决的问题”“化归为往年的高考题”. 笔者不赞成学生去做“高等数学补课”, 那是在“盲目提高教学要求”, 加重学生负担, 因此, 广大一线老师应努力地结合高考考题实际加强对高等数学分析相关热点领域的深入研究——居高临下, 俯瞰全局, 把握本质, 高屋建瓴, 并积极地编拟具有相关性、预测性的模拟试题, 适当地将一些典型而重要的数学分析定理(往往是高考命题的热点)——有较高解题应用价值, 难度定位在学生最近发展区内, 可以用中学课本所学知识加以证明的定理, 将此作为解题模型介绍给学生(学生自证), 并有效地渗透重要的、核心的高等数学思想方法. 这样一来一方面可以有效提升学生解题能力和速度, 提高应试能力, 另一方面可有效地发挥高等数学对初等数学的指导作用, 以便于教师在复习中把握本质, 少走弯路, 强化热点, 突破难点, 提高教学效率, 不断优化教学, 类似案例举不胜举这里不再赘述.
参考文献:
[1] 甘志国. 高考数学真题解密[M]. 北京: 清华大学出版社, 2015, 1.
[2] 别尔曼特著, 张理京译. 数学解析教程(上卷)[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2016, 1.
[3] 曹程锦, 一个简单代数不等式引起的思考[J]. 数学通讯(下半月刊), 2015(10)63—64.
【作者简介】曹程锦，男，西北工业大学附中数学高级教师，第七届希望杯全国高中数学邀请赛全国第三名即金牌获得者，1995、1996年两次获得全国高中数学联赛陕西省一等奖，2008年获中国数学奥林匹克高级教练员称号，在数学教学、数学通讯、中学数学教学参考、中等数学发文二十余篇，近十年在省内外辅导学生十多人次入选国家集训队.
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