30年前的IMO试题并不是很难，仔细瞧瞧，不是吗？

文/单墫  葛军(许兴华数学/选编)

什么是IMO试题？IMO试题是工英文“国际数学奥林匹克竞”(即The Internatioal Mathematics Olympics)的简称，其中的题目一般被认为是中学数学中最难的试题。

（一）三十年前

下面是三十年前(1959年），第一届1MO (在罗马尼亚古都布拉索夫举行〉的两道试题《编号是原来的编号，括号中的国名是出这道题的国家，以下同此)。

   这两道题平平常常，在现在中学的习题里就能够找到。可见，数学竞赛并非高不可攀。当然现在的水平大大地超过了三十年前，但这种类型的题目用作训练，加强基础，还是很有用处的。
 

 虽然题目不难，也还是要谨慎从事，尤其罗马 尼亚那道题，很容易出错。
  这道题着重考察所谓算术根的概念。题目中的最后一句话“这里的平方根取非负数”  已经泄漏了天机。

（二）路在脚下

  敢问路在何方?  路在脚下。
一~电视剧《西游记》插曲
  近年的竞赛题是不是特别难呢?并不是这样。
  如果说“今非昔比”的话，今天的竞赛题着重在自己去找路，不像过去的题，往往有成熟的套路。这就更富于竞争性，更需要发挥你的创造力，更有利于发展你的个性。
     路，并不一定非常难找。往往就在脚下，只是需要你低头去看，去观察，去发现。
  请看第三十届(1989年)的一道题。

   要证明“可以分为......使得......”，最有效的方法就是构造法，即把符合要求的一种分法具体切实地写出来。
  “登高必自卑，行远必自迩”。1989太大了 ，117太多了。我们先用小一些的数作试验品。例如将{1，2，...，10}分为5个具有类似性质的子集，能不能办到?  (选题的人将题越改越难，我们正好反其道而行之。)
  这个问题应该说是非常容易的，略一尝试就可得出一个答案，我们把它写成二行五列的表：

   连续的20个整数(不限定为1~20)也可以这样处理，  因为同一行的每个数都加上一个相同的数后，  各列的和仍然相等。
        当各子集的元数n是偶数时，上面的方法足以解决问题。  现在考虑各子集的元数n是奇数的情况。先考虑最简单的情况：如何将{ 1，2，......，15}分为5个子集(n=3)，具有上面所述的性质?
      采用三行五列的表，第一行仍照顺序从左到右写下1至5。第二行的1至5(实际上是1 + 5至5+ 5)不能按照顺序从右到左写了(否则每列前两行的和相等，第三行无论怎么写也无法使各列的和相等)。
       怎样写第二行，可以说是问题的关键。
  这也许需要尝试好多次才能成功。不过，如果你希望有不很复杂的规律(不是杂乱无章)，并且与原来的做法差别不太大的话，那么最好是(可能是事后诸葛的总结) : 1仍旧写在最右面,2则与1隔一格，3再与2隔一格，  4又与3隔一格(即转回到第2列)，5与4隔一格，  得到

（三）以曲求伸
尺蠖之曲，为求伸也。
一《周易。 系辞下》
上一节，我们先退到比较简单的情况，找出规律，然后再进到较为复杂，较为一-般的情况。这种以曲求伸，欲进先退的方法，在数学中常常用到。
我国著名数学家华罗庚先生就曾经指出:“普于‘退’，足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍!

（四）依靠感觉走

跟着感觉走，让它带着我。
一歌曲《跟着感觉走》
感觉是很重要的，它常常引导你走上成功之路。
几何问题尤其如此。请看第29届的5题(希腊提供)

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