例谈数列的奇偶性与周期性

【来源】高考数学左老师（许兴华数学/选编）

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奇偶分析法

请注意，（1）式和（2）式都无法使用累加法，因为迭代时脚标的奇偶发生变化.所以，通过（1）（2）是无法求出通项公式的.

2

奇偶相间处理为同奇或者同偶

如何处理呢？

注意到，（1）（2）中有相同的项a(2k)，我们把两式相减.

上式表明：数列中相邻奇数项的和为定值2.

这样的话，我们就能够求出奇数项的和.

3

分组求和法：先求奇项和，再求偶项和

解决复杂问题就是这样：求解通项公式很困难，先放一放.什么好求就先求什么，能做到什么程度就先做到什么程度，急不得.

如何求偶数项的和呢？

偶数项的通项也未知，但是已知偶数项与奇数项的关系，我们可以利用这个关系间接求出偶数项的和.

奇数项和偶数项的和都已知，相加即得到结果.

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另辟蹊径：并项求和法

下面我们换一个思考问题的角度.

既然我们放弃求解通项，采用分奇偶项求和的方法，那么（2）式反映了什么？

思考1分钟.

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你看出来了吗？

（2）式表明：从第2项开始（因为k是正整数），相邻两项的和构成等差数列（奇数项脚标比偶数项脚标大）.

按照这个思路，我们有了下面的解法.

不幸的是，这个求和的项与所求的不一样，少了第1项，多了第61项.

它们二者之间有没有关系呢？

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探索数列的周期性

带着这个疑问，我们有必要回头再研究研究通项.

依然采用迭代的方法.

这个式子表达什么含义呢？

奇数项是以4为周期的，即奇数项每隔四项是相等的.

所以，前60项和依然等于1830.

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小结

本篇强调研究数列问题的基本方法：

1.遇符号数列，采用奇偶分析法；

2.不管有没有用，迭代试一试，加减试一试；

3.数列求和无定法，尤其要关注那些非常规求和的方法.