基于高中几何探究性实验与数学建模的教学实践及思考
文/李红庆等（许兴华数学/选编）
当前中学教学无论是人文科学，还是自然科学都归一成按教师事先准备好文本，学生通过机械记忆和海量训练，只求能在考试中拿高分，不求学科知识的本质理解，对学科思想方法、思维方式以及学科特色的研究方法关注不够。考试原本仅是教育评价的一种手段，却演变成了教育的目的。笔者基于对当前教育的反思和对本学科教育的担当，在高中几何探究性实验与数学建模的教学实践研究方面有了一些思考，在本文中呈现给读者，供大家批判与借鉴。
在传承与弘扬中国传统文化精神，崇尚科学实验研究的倡导下中国之基础教育，几何探究性实验，数学建模有着深远的时代背景和迫切的现实意义。其一，从学科角度上它能诠释中国传统文化的精髓，古代数学家祖暅之发明球的体积的求法“祖暅之开立圆术”是继承了刘徽的实验的线路，即从计算“牟合方盖”体积来突破。其二，从育人角度上它能诠释教育的核心价值思想。许多有建树的科学家的成长轨迹都表明，成为在科技上有作为的人都不是通过考试解题的技能来成就的，而是源于他们具备一种好的思维习惯，潜意识里具有深刻的批判性思维与创造性思维。他们不轻易相信现成的结论，善于通过实验来验证原有的结论并提出有价值的新问题。其三，从时代背景的角度上它能诠释教育的需求，为了实现中华民族的伟大复兴，重圆唐朝的“中国梦”，我们需要引领世界各行各业的领军人才，必须提升教育的品位，务实创新，脚踏实地，由教育家来办教育。
基于以上的思考，笔者认为高中数学教学应重视几何探究性实验与数学建模。几何探究性实验的外延是计算机软件几何实验模拟和几何实物模型的开发与应用，将它嵌入高中教学实践，让学生学习几何知识不再是纸上谈兵，而是对几何知识链的形成，空间位置关系相关知识的构建有一个清晰的体验过程，是一种接地气的有意义的实验活动。数学建模的外延是以现有的教材的内容为研究对象，建立数学模型和沙盘模型，它能帮助学生理解高中数学概念的抽象性和内涵的思辨性，也帮助学生从学科本质意义上理解数学概念的建立过程和解题机理与数学模型形成的过程。
高中几何探究性实验选例，应首选于现有的高中数学立体几何教材必修 2，如：在讲授中心投影与平行投影知识时，可以设计一个中心投影实验装置：投射光源 1 个，玻璃屏板 1个，染色透明三角板 1 个，水平放置实验桌 1 张，粉红色纸 1张，把上述器材按如图 1 所示进行安装，就可以完成中心投影实验了，如果把粉红色纸放置与玻璃板平行的位置，那么这样中心投影就是相似性投影；如果把光源换成平行投影光源，那么就可以完成平行投影实验。学生经历一次这样的实验，将会终生难忘什么是中心投影和平行投影。
其次，高中几何探究性实验选例还可以考虑高考试题中常出现的考点与模式，如多面体的三视图问题，学生缺少实物观察，由三视图很难逆向想象出多面体的实际图形，即使教师通过信息技术模拟演示，学生掌握并不牢固，不能真正理解三视图的线段究竟是由平面投影还是由线段投影而成的。因此，教学必须返璞归真，设计简单几何实验模型，帮助学生理解空间图形，培养空间想象能力。笔者在三视图的教学实践中，设计了很简单的实验装置就可以解决常见的多面体三视图的教学直观性的问题。1 个水平基座，直立 2 根金属柱子，2 张（或 3
张）穿很多孔的透明有机玻璃板，把它们连接成如图 1 所示装置，例如：某几何体的三视图及尺寸标示如图 2 所示，则该几何体的体积和最长的棱长分别是—— 和—— 。
在教学中应用几何模型演示，帮助学生感悟几何体的实物形象，或让学生用激光笔作平行投影，观察几何体的 3 个视图的形成机理，增强学生空间认识视野与空间想象能力。一个好的几何模型的制作，须依赖数学机理与思想方法。例如，空间四面体的外接球的问题，这是高考数学的热点，也是教学的难点，但多数教师对它的研究仅限于特殊情形—— — 构建长方体，长方体的对角线是球的直径，而它的类比原形是圆内接矩形或圆内接直角三角形，其实更多的情形是圆内接任意三角形，任意三角形的外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点，即圆心在边的中垂线上，类比到四面体的外接球，就是球心在经过四面体的一个面的外心并垂直该面的直线上，再利用球心到四点距离相等就能求出球的半径，找到球心的位置。例：如图 3，在
很简单金属丝做成几何模型，让学生切身感受，帮助理解四面体的外接球相关问题。
高中数学建模教学，以高中数学的内容为研究对象，建立能帮助学生理解和提高能力的数学实物模型，如高中数学选修4－5 教材中关于两个正数的均值不等式的几何模型（图 5），由连接两点间的折线段不小于直线段，即
数学建模还可以帮助学生突破思维定势和认知视野。例如，学生学习任意角的三角函数，是通过单位圆定义的三角函数，再通过单位圆建立了三角函数线，然后通过三角函数线画出了三角函数图像。学生很难理解单位圆中的三角函数线与坐标系中的函数值的几何对应关系，只知道是周角，不知道还是单位圆的周长，建立弧度制目的就是把三角函数中的“角”变为“实数”，弧度从定义本质上分析，就是没有单位的单位，所谓的就是近似值……在实际教学中笔者建立螺旋坐标系（称为 L 螺旋坐标系，图 7），当把弹簧拉直时就是直角坐标系中的轴了，有了这个数学模型的实物，学生就可以深刻认识与理解三角函数。
本文倡导在信息技术高度发展的时代还需要实物模型和沙盘推演教学，美国的计算机模拟技术是相当发达的，但他们拆毁大型水坝前也进行沙盘推演，从培养学生动手能力和意识上讲，功在当代，利在千秋。
（李红庆：中学正高级教师、特级教师、海南省“有突出贡献”优秀专家、李红庆卓越教师工作室主持人）
【注】本文为作者投稿的原创作品。非常感谢李老师的投稿！