万变不离其“中” ——从近几年高考圆锥曲线解答题谈起

南宁三中王强芳(责编:许兴华数学)

年年岁岁题不同，岁岁年年题相似，近几年高考圆锥曲线解答题尽管形态万千，而且设计的形式也不同，但是似乎都是与中点弦有关。关于中点弦问题除了可以用韦达定理，中点公式之外，中点弦有如下重要性质：

上面几个性质在解决中点弦问题中应用广泛，下面从2013年到2016年的全国高考圆锥曲线试题来探讨圆锥曲线问题的复习的对策。

这是2014年全国高考题第21题，（1）的答案为：抛物线y^2=4x.第（2）问的命题意图主要考查直线与圆锥曲线的位置关系问题。具体是利用四点共圆问题的条件求直线l的方程.

（Ⅱ）常规思路为：

解：依题意知与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为x=my+1,

该题给我们的表面印象是两条直线AB,MN与抛物线的相交关系问题，它是可以利用直线的垂直关系、韦达定理、弦长公式等基本方法就能解决的一个常规问题，但是计算量很大，一般学生无法完成。其实，问题的背景是，两条相交直线与一个二次曲线相交于四个点，当这四点共圆时，求所满足的条件。它的目的是从不同的层次考查学生的思维能力。如果了解问题的背景，解答十分简单！

其实，本题中第（2）中，MN不是AB的中垂线也有相同的结果，只要MN垂直于AB时，答案是一样的，但是为什么命题人将MN设为AB的中垂线呢？我认为主要是从试题设计的难度考虑的，因为如果MN不是AB的中垂线，很难利用常规方法求出AB的方程。这就是为什么我们强调通法的原因。但事实上只要知道MN和AB成的角，同样可以求得的方程，但是难度过大，体现不了区分度，不利于高考的选拔功能罢了。

解法4（利用直线的参数方程）：设直线l与C的两个交点A,B的中点为

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

解7：

解2：因为直线AB过焦点F，直接利用抛物线焦点弦

的性质得ab=-1，以下同解1.

(2)解1.（利用韦达定理）设

评析：本题考查抛物线的定义与几何性质，主要考查焦点弦和中点弦问题，

第（1）问考查了抛物线的焦点弦性质

第（2）问考查直线与抛物线相交的中点弦问题，但是命题人避开了常规的设问，题目的设计用两个三角形的面积关系掩盖了直线AB过定点这一重要条件，使得题目难度增大，当了解这个背景后（发现这一点很关键！），求AB的中点轨迹的方程就变得很简单了，它可以用点差法直接计算得结果。四种解法中，解4是命题人了解背景情况下的简单方法，解3是利用行列式快速表示三角形面积，然后发现直线AB过定点，解2是常规方法中利用直线过定点比较容易想到，解法1容易想到，但是运算较解2，解3，解4复杂。

整个题目考查了学生的思维转化能力，利用面积关系发现过定点是难点，它对学生的计算能力有一定的要求，属于中等偏上难度的题目。最后可以将第（2）问总结成一个一般性的问题：

  已知直线过某个定点，与二次曲线相交于两点，求这相交弦的中点的轨迹方程。（下图：王强芳老师近照）

【作者简介】王强芳，南宁三中数学教师，中学数学特级教师，数学奥林匹克高级教练员，中国初等数学研究会常务理事，广西师范学院硕士研究生导师，《中学数学教学参考》杂志特约编辑，《中学数学教学参考》杂志高考试题研究小组成员。在《数学通报》，《中学数学教学参考》等十多种杂志上发表学术论文百余篇，主编《中国高考年鉴》、《高中数学钥匙方法规律与技巧》、《优化设计》等知名学生用书，在高中数学命题研究和解题研究领域成果显著。担任南宁三中数学奥赛总教练，近五年来，带了2008、2010、2012三届高三理科尖子班数学教学工作，大批学生考上清华、北大、港大等名校，五年来学生获奥数省级一等奖人数在广西一支独秀，遥遥领先。每年和多名奥数国家队教练一起为山东、广东、辽宁等省奥数培训学校作奥赛培训，是广西在全国奥数领域最富影响力的优秀教师。