2018年全国高考数学3卷第20题对于超纲教学的启示

（许兴华数学/选编）

【点评】在2018 高考之前，教育部屡次发文，说教学不要超纲，并且对培训机构的超纲、超进度教学进行大力的整顿。在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书开篇对高观点下的思考解释一就是对超纲的思考，只有站在学科和学生的发展角度才会有正确的认识。《全国卷高考数学分析及应对》对超纲知识进行了两次深入地分析，多个维度全面、彻底地分析了超纲题目和如何教学。2018 年全国3 卷21 题绝大多数的学生都没有做出来，如果知道椭圆的焦半径公式，则很快可以突破，参考答案的解法正好用常规方法推导了焦半径公式

【点评】立体几何的学习在“直观感知——操作确认——推理论证——度量计算”这四个层面展开，因为立体几何呈现给我们的是几何结构，视角思维可以成为主导思维，即特别突出直观感知。借助长方体这个载体，把所研究的点线面的位置关系联系到一起，降低了立体几何学习的门槛，这是新课改强调的理念，有了长方体，其长度的关系为计算带来了便利，求角困难时，还有向量法作为保障，运动变化的观点的是基本观点，作为一般的学生深刻理解这些基本思想方法，也能高效地解决此问题，三余弦公式揭示了线面角、射影角和线线角之间的关系，在线线角计算有困难的时候，可以借助线面角和射影角来转化，作为特优生，不受制于考纲，广泛地学习和专研。

二、“一题多解”中的超纲与不超纲

学生的知识结构、能力结构、思想方法体系不一样，对于同一个题目，有不同的视角、这就对应着不同的思维方式，就会有不同的方法，有些优秀的学生掌握的知识、思想方法超过考试大纲，其解法也自然会超纲。所以我们很难精确的界定一个题的考查超纲和不超纲，早在上个世纪90 年代，就提出了高考“依据考纲、但不拘泥于考纲”，高考的12 题、16 题都是以能力和思想立意，所以知识的定位应该从属于思想能力定位。同时也让学生在不同的阶段、不同的水平看经典的高考题目，往往有不同的视角和不同的思维方式，往往能更好地解读高考题目，领会命题思路。

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