关于对数值logaM与logcN比较大小的一个问题研讨

（南宁三中   许兴华数学）

近几天，有一位高中数学X老师给我发了下面的一个题目：

X老师还对我说：“在一个包含有478位来自全国的高中数学教师，研究了一整天，结果竟然对此题束手无策！现在向您许老师紧急求救啊！”

其实，多年只辅导高中学生的数学高考，又不认真研究奥数了，加之一年又一年地逐渐变老了——我的解题能力也渐渐下降了......

我进行了下面的解题尝试：

至此，本人的思维受阻，于是我尝试用几何画板研究了一下，得到下面的图形1：

图中点C的纵坐标即为a的值，点E的纵坐标即为b的值,可见：a>b.

但考试时学生是不可以用“几何画板”的，初等数学的方法确实难解！怎么办呢？

为此，我将此问题发到俺大哥许康华公众号《许康华竞赛优学》建立的微信奥数群，上面有很多名师，就让大师们来帮忙吧！

第一位解答的是李老师，他的解答如下（我本人重新整理并抄写了，否则太潦草，担心大家看不清楚）：

（这是李老师解答的原稿）

起初，我看了很高兴!认为问题已经圆满解决了！不料，中国科技大学的王建伟教授提醒我说：“许老师觉得这解答是正确的吗？”

  仔细一看，原来还是有错误的！

下面是中科大的王建伟教授给出的正确解答（导数方法）：（编者按：王教授的解答中转化了两个数，应注意一下:m=-a，n=-b.否则，同学们有可能看不懂！）

我们再提供接下来的杨志明老师给出的正确解答：

西安市曹程锦老师给出的正确解答（与上面杨老师的解答基本上一致）：

我们非常感谢以上老师付出的辛勤劳动！

为了让同学们掌握好方法，下面，我们再给出一个类似的例子。

同学们可以先试一试:如果不允许你使用计算器和电脑，你是否可以做出下面这个小题呢?

童鞋门：学习了上面的4种解法后，你受到什么方法上的启示？

你能把这个问题推广为更加一般的情形吗？

有时候，也许我们可以说：学习的过程是一种由“模仿”到“创新”的过程。那么，仿照上面的方法，你可以做出【变式1】吗？

【知识点的准备】1.对数的换底公式：

【解题分析】要比较这两个对数值的大小，首先要注意数学上有一种叫做“化异为同”的思想：不同角化为同角、不同名化为同名函数（三角函数中），在对数中就是“不同的底数”要化为同底数，这样才方便比较对数值的大小。

这样，我们就可以轻而易举地解决【变式1】了：

好了，有了上面【变式1】的概括总结（一般规律），那么现在上面好像非常坑爹的【变式2】，你总该会做了吧？你悟出这其中的奥秘了吗？

关于“许兴华数学”：