用二项式定理证明不等式.(高2高3)

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（南宁三中  许兴华数学）

在证明数列不等式时,用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时有着较大的作用,但同时我们也发现，并不是所有与自然数n有关的命题都可以用数学归纳法来证明,而且目前在使用的新教材的必修课里面对数学归纳法已经不作要求了（如果大家不选修这个内容的话）.所以,在缺少了数学归纳法或出现了不宜用数学归纳法的题目之后,我们就需要去寻找另外的方法.事实证明,二项式定理在实际应用中具有很大的价值.例如,解决与自然数有关的幂不等式的证明,它就给我们提供了一种结构简明、思路清晰的证明方法.下面请大家看典型例题.

        （1）直接用二项式定理证明不等式

（2）适当变形后再用二项式定理证明不等式

          有些不等式的证明首先需要适当变形后再利用二项式定理证明。也可能是：先用二项式定理，再利用组合数公式进行适当变形，最后可以证明我们所需要证明的不等式。

总而言之,运用二项式定理进行证明的关键在于创造二项式.在有二项式的幂不等式中,要善于把其中某个数式变形、分解、引进参数等来构造新二项式而使得不等式两边在二项式展开后有紧密的联系,这其中当然还要借助于分析法、放缩法、构造法等来进行辅助证明.也就是说,在没有数学归纳法的情况下运用二项式定理证明不等式不失为一个好办法,而且这样做的解题过程常常要比使用数学归纳法来得简洁、明了,往往能起到事半功倍的作用.

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