高中数学：“ 横看成岭侧成峰” 一题多解找异同 | 一节高三数学试卷讲评课赏析
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高中数学：“ 横看成岭侧成峰” 一题多解找异同 | 一节高三数学试卷讲评课赏析
【来源】数学第六感。
【简介】作者：孟文娣，任教于江苏省徐州高级中学，中学数学一级教师，教育硕士，曾获徐州市学生最爱教师，徐州市课改先进个人称号。文章发表于《高中数学教与学》2019年第3期。
但笔者所执教班级得分率极低。第(1) 问7分，平均得分2.7分，得分率仅为38.8%。在给出正确解答方法的同时，教师更应该理清学生出错的原因，寻找对策。如果仅仅给出正确解答，对学生知识和能力的提高显然作用不大，为什么出错，错在哪里应该是教师必须解决的问题。
翻看学生的试卷，学生思路的开阔，一些独特的方法让人拍案叫绝! 立足学生，尊重学生的想法，沿着学生的思路寻求问题解决方案，方能让学生自主进行知识的建构和整合，为学生综合能力的提高奠定基础。在学生方法的启示下，也可以拓宽教师的思路，发现各种方法间的本质关系，提高教师的科研水平，一举两得。
解法2与解法1的思路基本是一致的，不同之处在于其未直接求边BC，而是通过两种不同的形式表示同一个量，达到建立方程的目的，先求角θ的正切值，再求边BC。数学知识的考查多数都会用到这种思想，如利用倾斜角和两点坐标构建斜率相等的关系求变量，或利用导数与两点坐标构建斜率相等的关系求变量，利用向量数量积的坐标运算和定义运算构建方程求变量，等等。所以将此种方法展示给学生是很有必要的( 下面的解法中也多次用到了这种思想)。
方法3、4思路基本一致，利用勾股定理表示各边，再分别借助余弦定理、等积法建立关于x的方程求解。利用此两种方法的学生均未得分，主要原因都在于在有限的时间内未能算出正确结果，可见此两种方法最大的弊端在于运算量较大，而学生在处理时又未能很好的运用十字相乘等运算技巧，导致错误。其次即使计算得出结果，取舍可能也是一个失分点。但是此种方法恰恰是较多学生采用的方法，因为学生更善于在“边”上找关系，而忽视“角”所带来的便捷性。
借助以上四种方法可引导学生寻求方法之间的差异，对比优劣，发现问题本质。解法1、2均是借助角的关系建立方程，解法3、4均是借助边的关系建立方程，对比之下，前者在运算上较为简单，这也正是高考考查的一个方向。在应用题的设置上更倾向于利用角的关系解决问题，让学生初步体会“角参”相较于“边参”的优越性。而解法4又正是解法2思想的体现，通过二者对比，可让此种思想方法更加深入人心。
运用此种方法的学生也未能算出正确答案，原因仍是四次方程的求解未处理好，计算不过关。但是能想到利用建系，利用向量数量积的两种形式建立方程实属不易，体现了学生较强的数学综合能力。但是这种方法建立方程容易，求解困难，仍然体现出“边参”的劣势，如何优化呢?
坐标运算除了在向量中应用广泛，在解析几何中更是研究的基础和根本。笔者在课前尝试在建系的方式下，利用“角参”得到了求解过程，课上通过笔者的引导，师生共同得到解法6。
通过上述两种方法的比较，学生再次体会到“角参”的优越性。特别是建系后，利用坐标运算，能够快速抓住图形的本质，建立方程，给解题过程带来便捷。在解法5的提示下，笔者顺利得到解法6，对于教师来说，也是认识和教科研水平的进步。通过解法5、6，让学生感受到建系在向量、解析几何中的便捷性，进一步将数、形结合起来，有助于学生进行数学知识的综合建构。
上面的错解看似利用了余弦定理，但仔细分析一下，可以看出解题过程仅仅在△ACD 中通过作高推导了一下余弦定理，或错解仅仅在△ACD 中书写了一下余弦定理的表达式，这自然是一个恒等式。然而学生添加辅助线的方式还是合理的，保留条件中已知角的完整性，尽可能在特殊的直角三角形中求解问题，符合学生的认知规律，所以找出解决办法是关键。课前笔者又再次在此种模式下寻求解决办法，于是得到解法7。
解法7虽然建立了正确的方程，但运算量还是很大，如何优化呢？笔者将问题抛给学生，学生自然想到通过“角参”解决，顺利得到解法8。
可见学生对于本题的理解还是很深刻的，意识到了设角解决问题的优越性，体会了数学中的化归、数形结合等思想方法。对于笔者而言更是受益匪浅，如果不是学生思路的启示，解法6和解法7、8恐怕很难出现。而这三种方法又很好的体现了前几种方法的区别和本质，即通过设角优化解题过程。