高考数学：巧用压缩变换来求解一些椭圆问题

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（许兴华数学）

高中数学的解析几何中有坐标转换，数形转换，图像转换；各种转换的共同本质是变化中的不变量，转换是手段，揭示其中不变的东西或称为本质才是目的。

圆锥曲线是中学中的一个重要概念，它涉及的知识面广，求解的灵活性大，致使很多同学感到困难。同时圆锥曲线问题有很强的类比性，它们之间可以互相转换。

 转换思想是将未知问题转换为已知问题。研究转换的目的是揭示这个命题中不变的“关系”；为了“不变量”的这个目标，我们去探索转换的手段，这就形成用转换思想解决问题的一种思路和方法。

 一种几何学可以用公理化方法来构建，也可以把变换群与几何学联系起来，给几何学以新的定义。这种用变换群来研究几何学的观点，是由数学家克莱因提出的。克莱因群论的基本观点是：某一种几何学是研究在相应变换群的一切变换下，保留图形不变性质的科学。按此观点，我们就找到了将椭圆转换为圆的理论根据，进一步揭示转换的目的——为了揭示所研究问题中的不变的“关系”。尽管我们知道圆不是仿射几何的对象，但一般来说圆的仿射映象却是椭圆，又由仿射变换它保留同素性、结合性、平行性，共线三点的间比及二封闭图形的面积之比保持不变。从而又为研究圆锥曲线提供了一种有力的工具。

       我们首先来证明一个引理。

【引理】在圆的所有内接三角形中，等边三角形的面积最大。

第(1)问的解答:

用常规方法求解与椭圆相关的三角形面积问题时计算量很大． 若另辟蹊径，通过伸缩变换转化为与圆相关的三角形面积，则会起到事半功倍之效．

转化思想是中学数学中最基本的思想方法之一，体现为化抽象为具体，化未知为已知，化复杂为简单． 基于圆的特性及椭圆和圆的内在联系，可以利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”，避开解析几何繁琐的运算． 同时，椭圆的性质也可以类比圆的性质学

习． 用联系的观点学习数学，可以使孤立的知识点统一起来，这对于我们构建知识网络、提升数学思维有着重要意义．

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