高考数学：三次函数性质研究
The following article is from 素人素言 Author 彭西东
三次函数与二次函数的关系
只因为
三次函数的导函数
是二次函数
函*数*图*像
导函数对函数图像的影响
从下面的动图不难看出，随着曲线上的点从左向右移动，切线的斜率在发生着变化，这种变化主要体现在正负的改变。
我们发现：
在单调增区间内，切线的斜率为正，
在单调减区间内，切线的斜率为负。
根据导数的定义，我们还知道：
函数在某点处的导数，其实就是函数在该点处切线的斜率。
所以，对于可导函数：
在单调增区间内，导数值为正；
在单调减区间内，导数值为负。
在同一单调区间内，反之亦然：
导函数为正，单调递增；
导函数为负，单调递减。
据此，就可以判断出函数的单调性了。
因此，三次函数的图像将会有以下两种形式（仅以a>0为例）。
其实，二次函数的图像还可以是上面这样的。此时，在零点的左边和右边导数值都为正数，故两边的单调性相同，从而函数依然单调递增。
如果两边都是单调递增的，
函数就是单调递增的。
三次函数单调性判断方法
单调性小结
2
三次函数零点
函数零点是函数的重要概念。
其实，函数y=f(x)的零点不就是方程f(x)=0的根嘛，
也就是函数图像与x轴交点的横坐标。
零点个数变化
动动图形，思考变化
从上面几组图像不难看出
三次函数的零点个数
可能是
一个、两个或三个
如果三次函数单调时
总是有一个零点的
如果不单调
看看下面的动图
就知道个数变化的原因了
三次函数零点个数确定方法
1
三次函数图像对称性
观察动图说对称
从上面的动图很容易看出：不论三次函数是否单调，它的图像都具有对称性，而且是中心对称图形。
那么，它的对称中心是？
第一张
3
三次函数图像的切线
切线是什么qiexian切线，是几何图形中的一个重要知识，
也是考试的常考点。
不过，到底什么是切线？
曲线的切线与曲线的交点真的只有一个吗？
当然，我们从上下两个图像中都不难看出：
现在的直线与曲线的相切关系，
已远远没有当初我们想象的那么纯洁了。
下面这两条直线，就都是曲线的切线。
切线的斜率
讲了导数的定义之后，我们最大的收获之一，就是知道了：切线的斜率就是导数值了。
不过，遗憾的是，很多同学对“在某点处的切线”与“过某点作切线”总是傻傻分不清……
切线典型例题
其实，在求过某点的切线方程时，最后往往会涉及到一个难点，那就是高次方程或超越方程的求解。这种方程的求解在高中阶段并没有一个特定的解法，而根据解题经验，一般可以用观察法或结合待定系数法进行处理。而在用观察法时，往往可以看出方程极大可能会有以下的根｛1、2、3、-1、-2、-3｝。
【来源】公众号：素人素言。
【读者必看】为防止喜欢《许兴华数学》的朋友失联，敬请长按二维码识别关注备用公众号《许兴华文摘》：
【几点说明】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。
（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。
（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：chinamatha@163.com；或投稿到QQ邮箱: 81983781@qq.com.
（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。