【高考数学】一篇文章，给高中生讲清楚“洛必达法则”

【来源】奇趣数学苑。

这篇文章面向的对象是高中生，将会讲解什么是洛必达法则。

以及在最后，会讲在高考题中怎么绕开洛必达法则。

现在在群里，高中生们问得最多的问题就是“洛必达怎么用？”、“能不能用洛必达？”。

这篇文章就要解决这个问题。

一、洛必达（L'Hopital）法则

这里就不涉及到严格的极限的定义，因为高中数学的课本中没有讲到极限的定义。

先来讲一个简单的概念：不定式。

设我们有两个函数  和  ，若当  时，有  ，则称分式 为  型不定式；

同样地，若当 时， 有 并且  （这里的无穷大可正可负）则称分式  为  型不定式。

上面便是洛必达法则使用的前提条件，只有在满足条件时才能“洛”。

洛必达法则的内容如下，分为  型不定式和  型不定式。

定理1 （  型不定式）若当 时，  为  型不定式，  和  存在，且  不是不定式，则 ；

定理2 （  型不定式） 若当 时，  为  型不定式，  和  存在，且  不是不定式，则 。

要解释这个定理，只需要用到导数的定义。

（需要注意的是，在这里我用的字眼是“解释”而不是“证明”，希望大家不要有着“证明就可以用”的念头。）

先考虑定理1，根据导数的定义，  。

则  ，其中  ，又根据  ，代入后即可得到  ，即为所求结果。

再考虑定理2，当  时，若  ，则  ，记  ，  ，则  是  型不定式，对其应用定理1得：

 ，另一方面有  ，由此解得  ，也即 。

至此，便可以（不严谨地）说明上面的结论成立。

二、洛必达法则的小应用

举几个简单的小例子，来说明一下在高中的题目里，洛必达法则怎么用。

例1 画出函数  的图像。

解答 求导得  ，因此  在  递减，在  递增。

计算得  ，  ，接下来只需分析当  时  的取值。

 ，此时发现  和  都趋于无穷大，使用洛必达法则得：

 ，因此  。

例2 当  时，不等式  恒成立，求实数  的取值范围。

解答 分离参数得  ，令  ，其中  。

 ，令  ，  ，因此  在 单调递增，  ，因此  ，  在  单调递增。

要求  恒成立，因此  ，但当  时，  ，此即为  型不定式。根据洛必达法则，有：

 ，因此  ，实数  的取值范围是  。

例3 当  时，不等式  恒成立，求实数  的取值范围。

解答  ，又  ，因此  。

当  时，  ，实数  的取值范围是  。

甚至洛必达可以“洛”很多次，只要是不定式就可以“洛”，直到得到结果。

例4 求极限  。

解答 当  时，  ，使用洛必达法则得：

 ，此时依旧得到的是不定式。

当  时，  ，再次使用洛必达法则得：

 ，因此  。

三、洛必达能不能用？如何绕开洛必达法则？

其实我反复强调的是，高中数学没有极限的定义，上面的过程是不严谨的。

不同的省份改卷标准不一样，有的地方可能会给分，有的地方可能会酌情扣分，而有的地方甚至会一分都不给。

洛必达法则本来是个高等数学中非常有用的结论，但“洛必达”最后变成了一些高中生装逼用的词，遇到题目就“洛”，以为可以秒杀，但完全没有顾及到严谨性。

除此之外，许多高中生在不是不定式的情况下胡乱“洛”，最后得到一个完全错误的答案。结果这些人就开始到处问“为什么这题不能洛必达？”、“洛必达是不是错的？”。

事实上，在做题的过程中，完全可以绕开洛必达法则，达到相同的效果。

一般地说，在遇到恒成立问题时，将不等式进行分离后可以得到形如  的形式，其中 的临界值是  ，且  。那么很多人就会用洛必达法则，来求出  在  处的极限  。但这样做有必要吗？

若  ，则  ，令  ，则原不等式等价于  。我们尝试分析构造出来的这个函数。

当  时，  ，一般地，要令我们只要让  在  以前单调递减，在  之后单调递增就行了。

也即  是  的极小值点，令  ，可解得  ，这个就和我们用洛必达法则得到的结果一样。

但如果  怎么办呢？可以再求一次导，再令 ，由此解得  ，就和多次应用洛必达法则一样。

由此看来，“洛必达法则”完全没有必要出现在题目里，要使用洛必达，其实等价于直接对构造出来的函数求多次导。

在做解答题时，可以先用洛必达法则猜出答案，但是在写过程的时候，还是要用分类讨论的办法，把讨论的过程写清楚。

顺便也提醒高中生，不要盲目寻求一些“秒杀”的办法，最后反而弄巧成拙。

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