杨春波：一文搞定极值点偏移

【来源】解忧数学杂货店。

【说明】本文已经发过两次，现应部分读者的要求，重新刊发。

极值点偏移问题一

——对称化构造（解题方法）

三张图教你直观认识极值点偏移：

1

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1

2

1

1

3

1

例题展示

点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：

把握以上三个关键点，就可以轻松解决一些极值点偏移问题．

拓展

小结：用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：

1

2

3

牛刀小试

极值点偏移问题二

——函数的选取（操作细节）

例题展示

点评

点评

注1

注2

思考：上一讲极值点偏移问题（1）中练习1应该用哪一个函数来做呢？

极值点偏移问题三

——变更结论（操作细节）

例题展示

解法一（换元法）

解法二（加强命题）

剧透：下一讲中我们还会给出这道题的第三种证法．

能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？

答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看一个例子．

引例

证明

发现

能否一开始就做这个代换呢？

         这样一种比值代换在极值点偏移问题中也大有可为.

         下面就用这种方法再解前面举过的例子．

再解例1（3）：

再解例3：

再解练习1：

再解例4：

再解例5：

再解例7：

再解例8：

行文至此，相信读者已经领略到比值代换的威力．用比值代换解极值点偏移问题方便、快捷，简单得很．只需通过一个代换就可“双元”化“单元”，变为单变量的函数不等式，可证．那是不是可以就此忘掉前面三讲的内容呢？只需比值代换，就可偏移无忧？

这里，笔者必须指出，前面再解的过程中有意地略去了一些例子（不知细心的你是否发现），这就补上，请读者明察．

试再解例2：

试再解例6：

试再解练习2：

这是比值代换的败笔，又是最精彩之处．没有任何一种方法是万能的，我们不仅要熟悉它的优势，熟练它的操作，还要清醒地认识到它的缺陷，运用时要注意哪些问题，这其实是为了更好的运用．

最后，我们来看比值代换另一个应用．

牛刀小试

极值点偏移问题五

——对数平均不等式（本质回归）

回顾

本讲要给的对数平均不等式是对基本不等式的加细．

对数平均不等式：

先给出对数平均不等式的多种证法．

证法1（对称化构造）：

证法2（比值代换）：

证法3（主元法）：

证法4（积分形式的柯西不等式）：

证法5（几何图示法）：

图1

图2

应用

由对数平均不等式的证法1、2即可看出它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式解前面举过的例题．

   再解例1：

再解例2：

再解例3：

再解练习1：

再解例4：同本节例1

   再解例5：同本节例1

再解例7（2）：

再解例8：

再解练习2：

解练习3选项D：

总    结

极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，用对数平均不等式解题的关键有以下几步：

    细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6，读者可尝试），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键．

       最后再举一例．

证法1

证法2

极值点偏移问题六

——泰勒展开（本质回归）

这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明。

图1

图2

以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归．

    极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述．

    至此，我们得到极值点偏移问题的如下判定定理：

  注意：

应用

下面就用这个判定定理再解前面举过的例题．

   再解例1：

再解例2：

再解例4：

再解例6：

    再解例8：

    再解例10：

——练习题及解答

图1

练习题：

提示与答案：

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