​邹生书——三角形求周长试题的三种目标性求解视角

三角形求周长试题的三种目标性求解视角

          湖北省阳新县高级中学         邹生书

16.在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若bc=1,b+2ccosA=0,则当角B最大时，∆ABC的周长为＿＿＿＿

视角一：通过求cosB的取值范围求B的最大值

解法1：由b+2ccosA=0及余弦定理得

将②代入①得b=c，又bc=1，所以b=c=1，

易求得a=√3，故当B=30°最大时，

∆ABC的周长为a+b+c=2+√3.

视角二：通过求sinB的取值范围求B的最大值

解法2：由b+2ccosA=0及正弦定理得

sinB+2sinCcosA=0,

由积化和差得

sinB+sin(C+A)+sin(C-A)=0,

即2sinB=sin(A-C)≦1, 

得sinB≦1/2,所以B≦30⁰,

当A-C=90⁰时，B=30⁰最大，

此时A+C=90⁰,解得B=C=30⁰,b=c,

又bc=1,所以b=c=1,可求得a=√3，

故当B=30°最大时，

∆ABC的周长为a+b+c=2+√3.

视角三：通过求tanB的取值范围求B的最大值

解法 3：由b+2ccosA=0及正弦定理得

sinB+2sinCcosA=0,

则sin(A+C)+2sinCcosA=0,

即sinAcosC+3sinCcosA=0，

由b+2ccosA=0，知cosA<0,

所以A钝角，则B,C必为锐角。

将上式两边除以cosAcosC

得tanA=-3tanC.

所以0°<B≤30°,当1=3tan²C即tanC=√3/3,

也就是c=30°时等号成立。

于是当B=30°最大时，B=C=30⁰,下略。

另解：由b+2ccosA=0及射影定理得

ccosA+acosC+2ccosA=0,

即acosC+3ccosA=0,再由正弦定理得

sinAcosC+3sinCcosA=0，

下同上法，略。

【来源】邹生书数学。

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