【经典老试题】从1939年的数学高考试卷谈起

本次谈话者为：

顾鸿达：特级教师，上海市数学名师培养基地（黄浦)主持人。

康士凯：特级教师，上海市数学名师培养基地（杨浦）主持人。

朱成杰：教授，上海市数学名师培养基地导师。

张奠宙：华东师范大学教授，本刊名誉主编。

2006年4月，上海设立名师培养基地。数学有三处：顾鸿达、康士凯、胡仲威三位名师主持。张奠宙应邀到基地做过演讲，2007年底，第一期培训结束。又出席了结业仪式。在顾鸿达基地的陈列资料中，有一份“学员作业”，是1939年的高校统一招生的数学试卷。访谈从这份考卷谈起。

张：顾老师，你把这份考卷给培训学员看，用意何在呢？

顾：看了这份试卷，颇有些吃惊。一共6个题目，几乎都超出今天的《数学课程标准》的内容。高次方程、De Moivre定理、行列式都被我们削减了。一个初步的感想是，数学教学似乎年年教同样的课程，可是几十年之后回头一望，变化还真不少。让学员看看，知道数学教学并非是一成不变的老套子，而是在不断地变化着。教学改革是历史发展的需要。
张：看到这张卷子，似乎回到我的中学时代，我在1949年读高二，用《范氏大代数》，内容就是这样的。我特别注意到，第一题中有的记法，现在已经没有了。现在只说。记得那是1957年，我刚刚研究生毕业留校上复变函数论，发觉直到解放后依然写,很不妥当。当时主编《数学教学》的余元希先生叫我写成文章发表。后来这种写法就没有了。我想多少和这篇文章有关。《范氏大代数》以方程为纲，高次方程是必考的内容。
康：现在的数学课程是以函数为纲了。此外，这6道题目中没有立体几何内容。但今天的高中数学，空间想象能力培养是数学课程的重要内容之一，所以立体几何有一定地位，包括用向量方法处理。近年来，概率也进入课程，所以今日的数学课程内容，和1939年的数学课程内容相比，着重点不一样。
张：加强函数的学习，是1950年代学习苏联以后形成的格局，这是一个历史的进步。其原因在于大学要学习微积分，而微积分是研究函数局部性质和整体性质的学问。三次以上方程没有根式解，一般都得用计算机求近似解。所以现在的方程内容到二次方程为止，也就够了。20世纪线性数学发展成熟，行列式很受重视，可是从1950年代起就删掉了，很可惜。
顾：用向量、矩阵和行列式是水到渠成的事情。上海的课程标准中有行列式。目前准备增加矩阵。
张：美国课程标准中，矩阵是一个基本课题，看来这是一个国际趋势。第3、第4两个题目涉及解析几何，和今天的课程要求相比也有不小的变化。
朱：轨迹方程的题目现在考得少了。解析几何明显地受微积分需求的影响，较多地从函数的角度着眼。此外我的一个明显的感觉是，题目这么少，一共只有6道，和我们今天21道题目相比，数量上十分悬殊。
张：顾老师、康老师怎么看？现在许多省市有高考自主命题权，可是数学试卷的样式却大同小异，好象是一个模式。这是什么原因？
顾：2007年全国高考有十几个省市可以独立命题，各省市考生从10万左右到几十万，既是一考定命运的大范围招生考试，又要能让不同类型的高校完成选拔任务，这样使试卷命题难度很大。同时命题还要受到社会稳定等各种复杂因素的制约。数学高考的内容要求这几年来有改革，一般都是作些微调。目前数学高考总题量是20~22题；三种题型选择填充、解答题，其中解答题占5~6题。各省市大致都是这个模式。
康：将1939年试卷与现行高考数学卷从题型方面作比较，现行高考数学卷题型丰富多了。填空题、选择题、简答题、综合题，此外还有探究型问题、能力型问题等。应该肯定，在如何培养学生探究能力方面，现行高考数学卷每年都有值得品味的好题，这也为中学教学的导向做出好的样子。如果看1939年的第2题，仅涉及因式分解和De Moivre定理，而且试题已有提示，基本上属考查技能的试题。不能不说在探究能力培养上，数学教学是在朝前走的。
张：现在的考卷题目多，又较难，是怎么造成的？
朱：1978年恢复高考时并没有这么多题目。后来受某种考试理论的影响，即考试纲要有知识点，试卷必须有相当大的知识点覆盖率，为了达到这个目标，于是试卷就不得不拉长。
康：在题量与得分的分布上，填空题与选择题占如今高考数学卷相当大比例。小题多就是为了追求覆盖率。审视今天的高中数学教学，几乎用一年时间进行复习，为了达到准确率和速度，许多学生把大量时间化在填空题、选择题和简答题的重复操练上。即使再优秀的学生也不敢在这三部分试题上因为不熟练和粗心失分。顾：这些年来数学高考试题的要求与难度都高于教材，“总题量多，试卷长度长，试题难度高，完卷时间紧”是我国数学高考四大特征。
张:上海一期课改数学教材的主编陈昌平先生呼吁减少题目数量，增加思考的时间，可惜一直没有成功。
康：确实，得分率保持在0.9的试题，难道对学生素质真那么重要？真值得百万考生化那么多时间去操练？瓶颈在于一张试卷既要解决重点大学招到优秀学生，又要兼顾高等职校也要有合理的生源。
张：考试模式一成不变，就成了考试八股。八股之害，就是使得思想僵化。
康：招生制度改革或许会带来契机。高校自主招生考、春考乃至即将推出的能力水平考(与过去会考略有区别)，如果大专(高职)招生能根据能力水平考录取，那么简单的填空、选择题的数量完全可以压缩。
朱：上海在考试改革上应该率先走出一步，毕竟地方小，组织考试要容易些。
张：听说顾老师最近在上海组织过一个测试，不少中学老师不会证不是有理数，lg3不是有理数。这是否预示着证明能力越来越差？
顾：2007年10月上海市部分区对申报中学数学高级职务的教师作了一次数学测试，参加测试的高中组教师会证明1g3不是有理数者占56.5%；初中组教师会证明不是有理数者仅占16.4%。这些问题都是中学数学教学中的基础知识，涉及的都是数学中的基本思想和方法，不能正确完成者比例之高出乎大家的意料。
张：这样的题目为什么老师会觉得难？
顾：问题与高考命题模式不无关系。“1g3不是有理数”和“不是有理数”都不在考试范围内，所以教师就不关注。为应付高考，不少教师陷进“操练式”的教学，教师和学生都被困于“题海"之中。无暇顾及考试以外的题目。所以，要让中学数学教学回到数学的本和源上来，改革升学考试模式是个突破口。
张：这两个题目为什么不能考，超纲吗？
朱：证明这两个题目要用反证法，对一般同学也许难了些，对优秀同学应该不成问题。所以如果考试分成等级，那么这类问题可以考，教师也就会关注了。
顾：能考固然好，不考也应该会做。这是基本数学素养问题，当前提高中学数学教师的数学专业素养是一项十分急迫的工作。
朱：在新一轮课改背景下，教师培训往往侧重于对先进教育理念和教学方法的学习，看来还应加强对教师的数学专业能力进行培训，因为先进的理念和教学方法脱离了具体学科就会成为僵死的教条。
张：去数学化的情形相当严重。中国千万不能走美国的老路。现在，学习发达国家（特别是美国)的许多好经验，很有必要。但是，数学教育也许不能照搬，中国基础教育的数学教育总体上、平均水平上比美国好。中国有哪些好的数学教育传统需要总结发扬呢？
朱：中国学生数学双基扎实是全世界公认的。教师善于运用一题多变以及将相关题目编成题组的变式训练，使学生对基础知识理解更加深入，对基本技能掌握得更加牢固。利用一题多解激活学生的思维，让学生增强发散性思维能力、掌握解题策略也是许多优秀教师常用的法宝。我国学校有教研组、备课组，老师在教学中遇到困惑，可以在组内同行中进行研讨，还有我国学校对日常课堂教学、学生作业、课后辅导、考试评价等都有比较规范的管理。
张：中国数学教师的数学学科知识水平比较高，本来也是优点之一，中国旅美学者马立平博士，将上海静安区第一小学的老师和美国小学老师的数学水平做比较,发现中国老师的数学解题能力明显好于美国同行。她的著作在美国成为畅销学术著作。

顾：文革之前，中学教师培训有对教材的分析与处理，但更多的是帮助教师提高数学学科的专业水平。这也应该是我国数学教育的优良传统。

张：七一中学的詹晓民老师寄给我一张上世纪九十年代初上海数学会辅导报告的听讲证，其中写的报告内容是：

苏步青：怎样学好数学；钱端壮：非欧几何；张莫宙：复数的一些应用；夏道行：e和T；胡和生：几何变换。我能和几位名家一起作演讲，是对我这样晚辈的提携。现在的问题是，这样的报告还能组织得起来吗？

顾：恐怕很难了。

康：老师其实是有积极性的。浮躁和功利的风气不能怪罪于老师。如果能把考试“紧箍咒”松一下，数学教师当然愿意听数学名家演讲。

张：最近我突然想到，学生学习语文是能欣赏，但不一定会做。例如喜欢唐诗，却不见得会做。音乐美术教育也是如此。惟独数学学习，学生会做题，却不会欣赏数学。好似猪八戒吃人参果，吃到肚子里，不知道什么滋味。

朱：确实，我们的数学教育也有不足之处，主要是学生的创新精神和创新能力不足。数学不只是解决问题的工具，而且还是一种探求真理、认识世界的思想方法，一种现代公民的修养。

张：谢谢各位。下次有机会再谈。

【注】来源于《数学教学》200808期。转自：好玩的数学。

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