【教学设计】覃义超：“求椭圆的离心率”解题教学课例

【来源】文卫星数学生态课堂。

个人简介：覃义超，男，贵州省铜仁市第二中学教师、铜仁市高中数学名师工作室主持人，中学数学正高级教师、贵州省特级教师。先后荣获贵州省优秀教师、骨干教师，市级课改先锋等称号。研究方向：高中数学课堂教学小组合作学习实践研究，这方向的成果先后在各种刊物上发表，在这方面的研究主持了一个省级重点课题，已经结题。现在在省内外推广研究成果十余次。

求椭圆的离心率”的解题教学课例

——以2014江苏高考试题17题为例

（贵州省铜仁市第二中学覃义超名师工作室推荐）

一、教学设计                  

（一）知识点

高频考点：三角形的边、角关系，正、余弦定理；向量的数量积及相关结论；直线与方程、直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质及离心率的求法等知识与方法.

（二）学习背景

1.教材分析

圆锥曲线是高中数学中选修教材的必修模块内容，也是高考必考内容.椭圆的离心率是高频考点，它建立在椭圆的定义及其性质基础上，与三角、向量、方程等知识紧密联系．各知识点之间纵横交错，本节课的重点是利用三角、向量、方程等知识来研究椭圆的离心率的求法．

2.学情分析

通过第一轮复习，学生对三角形的边、角关系，及正、余弦定理；向量的数量积及相关结论；直线与方程、直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的有关性质及离心率的求法等知识与方法，都有了不同程度的掌握，但是运用各知识点强强联手，解决复杂问题的能力有待提高．这节“一题多解、一题多变、一题多说”的教学课例，通过对一道高考试题的解法探究、结构特点分析，使学生综合运用知识，求椭圆离心率的解题能力提升到一个新的高度．

3.核心问题

结合题目给的条件，综合利用三角、向量、方程和椭圆的离心率等知识求离心率.让学生从一道数学题的解法去思考数学的本质.从而拓展思维广度，长见识、悟道理.

（三）学习目标

1.核心素养目标

在掌握椭圆的定义、标准方程的基础上，椭圆过一个已知点，在图形中挖掘出隐含条件a求标准方程．进一步从图形中找出左焦点、上顶点，用c、b表示的坐标，再由垂直条件，用三角形、三角函数、向量和方程的知识求离心率．培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模核心素养．

2.长见识悟道理

（四）设计思路

1.思想与策略：借助信息技术的先进教育手段，采用“三教”教学思想，在师生互动中，引导学生动脑达到“会思考”、动口和动手的过程中达成“会表达”；在整个过程中“会体验”数学逻辑的严谨和数学之美.

2.分组与策划：8人为一个学习小组，并确定一人为组长，由组长统筹兼顾本组学员，协调学习过程，汇总.

3.独学与对学：首先根据学生个人能力独立解答，然后与同桌或前后桌交流解题情况，尽量多地选择不同方法解决本题（课前准备）.

4.群学与展示：根据个人情况和优势，小组内再合作交流，经小组共同讨论确定一人或多人上台展示成果.

5.多解与变式：让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，深度挖掘各知识点的内在逻辑性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解.

6.总结与提高：针对学生的解答，发现学生的亮点，指正不足.总结学生“长的见识、悟出的道理”.

二、教学过程

编者按：3月28日，铜仁市2017年高三复习优质课评选活动在铜仁市第一中学举行．当天下午，我应邀在高三（7）班为大家上了一节题为求椭圆离心率的示范课．在教学模式上，用自己主持研究的课题“高中数学小组合作学习”的成果：“高中数学小组合作学习课堂教学模式”.

教学过程中，落实了由贵州师范大学吕传汉教授提倡的“三教”教学思想”，即教思考、教体验和教表达.

（一）一题多解       

（1）问题条件分析（教思考）

①“如图，在平面直角坐标系中”指明本题是建立在我们熟悉的平面直角坐标系中的，而不是极坐标系，平面直角坐标系表示的实质是横坐标与纵坐标，相关量的等式就是横坐标与纵坐标的等量关系.

提前发给学生，让他们有更多的思考时间与空间.这样，课堂会更加精彩，学生的收获会更大.

五、一题一诗

啊，椭圆

啊，椭圆

你扎根海底

冲破滔滔巨浪

托起港珠澳，何止一座大桥

其实你的离心率，早已算尽宝岛

啊，椭圆

你隐居平塘

张开天眼，向宇宙聚焦

冲越时空的仰望

你向外星人述说，人间数学的美好

啊，椭圆

你穿越丛山峻岭

一带一路，满是芬芳花草

高铁的飞弧上

点点都是中华儿女的智慧与勤劳

啊，椭圆

你画定虚空

“嫦娥”搭上了你轨道

当月亮转身时

你恰到好处的焦点

让仙子也不愿再回九霄

（本文系贵州省级重点课题《高中数学合作学习经验及其获得能力培养的研究》(2016A028)研究成果，落实“三教”教学思想引领下的教学活动）

【参考文献】

[1]吴万辉. 数学诗歌，西藏人民出版社.2012.12第一版.

[2]吴国梁.高中数学小组合作学习的实践探究[J].中国校外教育，2015,01:54.

[3]林笃锦. 关于高中数学合作学习的意义探索及开展路径[J]. 亚太教育,2016,(30):68.

[4]覃义超.高中数学新课堂模型——“分层走组，团队合作”活动探究[J].高中数理化：下，2017（4）：17-19.

[5]严虹  游泰杰  吕传汉.引领中小学数学教学培育核心素养探究.贵州人民出版社，2018.4.

[6]袁景涛  李时健  吕传汉.基于培育数学核心素养的行动教学课例研析（高中数学名师工作系列丛书).华东师范大学出版社，2019.7第一版.

【推荐阅读】

【投稿须知】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：

（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。

（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。

（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：[e-mail]；或加主编微信xuxinghua168投稿.（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。