汪仕骏——高中数学：非R上增函数但f(x)≤f(x+m)成立问题

非R上增函数但f(x)≤f(x+m)成立问题

作者：汪仕骏

      f(x)≤f(x+m)是一个类似于单调性问题但不如单调性问题严格的问题，它通常出现在这样的函数中，即这样的函数在总体上呈现递增趋势，但在局部有所曲折，有所回旋。从数学教育的情感价值观角度说，这是马克思主义哲学中“事物在曲折中螺旋发展”这个定律在数学中的优美体现。

  解决问题，一要精准把握解析式，二要把握总体和局部的趋势，三要精准选好转折点，在思想上，要有极大思想、临界思想的准备。本文选择两个例题，数形结合加以阐述，力争展现数学之美。

问题1（2014年湖北卷）

赏析：本题的难点在于得到函数的解析式，画出函数的图象，以及选好f(x-1)≤f(x)中的x。这个函数在(-∞,-2a²)上以及在(2a²,+∞)上都是增函数，x在这两个区间上，f(x-1)≤f(x)一定成立。本题的特殊之处在于[-2a²,2a²]这个区间。在这个区间上，选定x后，即要知道与这个x有相同函数值的另外一个自变量x’。如何选择这个x，是本题的核心，选好x，则本题就成功了。我们把x放到这个区间的最右端2a²上，此时x^’=-4a²，那么x-1≤x^’。这样，得到的结论就是最为保险的，最能对于所有的x保证f(x-1)≤f(x)，也是准确的答案。

赏析：本题的关键同样是把握[-a,a]这个区间，核心同样是选择x+20为a。

【来源】邹生书数学。

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