自然为什么钟情于正六边形？| 蜜蜂，天生的数学家
Nautilus April 9, 8:04 PM
BY PHILIP BALL
(Translated by 刘清晴、陈开壮、李宇峰，Edited by 傅渥成)
蜜蜂用来储存金黄色花蜜的蜂巢，那一组组正六边形的格子，实在是精密工程中的奇迹。它们是怎么做到的？蜜蜂蜡筑的巢壁有着十分严格的厚度，格子相对水平面倾斜以防止黏黏的蜜流出，整个蜂巢还与地球磁场方向对齐。不过，这项工程的完成没有任何蓝图与规划，仅仅依靠无数的蜜蜂同时工作，并以某种奇特的方式协调着它们的努力，从而避免搭出不合格的巢格。
古希腊哲学家帕普斯觉得，蜜蜂一定有着“某种特定的几何预见”。可又是谁给它们赋予这般智慧呢？难不成是上帝？按照威廉·卡比在1852年的说法，蜜蜂是天生的数学家。查尔斯·达尔文对此是怀疑的，于是他设置了实验来弄清楚蜜蜂是否真的能够仅仅依靠演化遗传来的本能建筑出如此完美的蜂巢，正如他的遗传理论所暗示的那样。
不过，蜂巢格为什么是正六边形的呢？这是一个简单的几何问题。当你想要用同样形状和大小的小块来铺满整个平面时，你会发现只有三种形状能满足要求（正三角形、正方形，还有就是正六边形）。而在这当中，正六边形的结构能用最少的边围出正三角、正方形能做到的同样大的面积。蜜蜂理所当然地会选用正六边形，因为产生蜂蜡是要消耗它们体力的，它们自然想尽量节省着用——正如我们的建筑工人会想着怎么节省建筑的砖瓦。人们在18世纪就已经了解到这一点，而达尔文宣称这正六边形的结构是“绝对有利于节省蜜蜂的体力和蜂蜡”的。
达尔文认为，是自然选择赋予了蜜蜂搭筑这样的蜡房子的本能，因为它比其他形状需要更少的能量与时间的优势。纵然蜜蜂似乎显现出相当专业的测量夹角和巢璧厚度的能力，但不是所有人都认同它们自身有着这么大的能耐。这是因为，创造正六边形这件事，自然正以其他方式在做。
如果你在水面吹出一层泡沫——这又被叫作“泡筏”——这些泡沫会变成正六边形或者近似的形状。你不会找到一漂正方形的泡泡：如果四个泡泡挤在一块，它们会很快重排三个球的连接点，内壁或大或小地接近120度，就像奔驰汽车的商标中间那块一样。
显然地没有谁在一手捏造这些泡筏，一如蜜蜂对与它们的蜂巢。是物理的规律塑造出了这般的模型。这些规则显然有特定的偏好，比如偏心泡泡间三向连接。当泡沫变得复杂时，这点同样成立。如果你往一瓶子肥皂水中用吸管吹气，堆起一堆三维中的泡沫，你会看见当有泡泡在一个顶点相聚时，它们永远是一种四向连接的结构，他们的相交膜之间的夹角都近似于109度——这一角度与正四面体的内角相关。（以上由李宇峰翻译）
什么决定着肥皂泡薄膜连接和气泡形状的规则？大自然甚至比蜜蜂更加关注经济性。气泡和肥皂泡薄膜是由水构成的（一层肥皂泡分子），其表面张力作用于液体表面从而获得尽可能小的表面积。这就是为什么雨滴（或多或少）在下落时是球状的：一个球体在相同体积下比其他任何形状具有的表面积更小。由于同样的原因，在含蜡质层的叶子上散落的水滴汇集成小水珠。
这种表面张力解释了气泡筏（bubble rafts）和泡沫的模式。泡沫会努力实现拥有最小表面张力的结构，这意味着肥皂泡薄膜墙面积最小。然而气泡墙（bubble wall）的架构也必须在力学上是稳定的：各个方向的拉力在结合部位必须完美地平衡，正如一所大教堂墙面的全部受力必须保持平衡一样，如果该建筑要矗立起来。气泡筏中的三向连接以及泡沫中的四向连接就是实现这种平衡的架构。
然而，那些认为（有人这样想）蜂巢只是软蜡固化的气泡筏的人们，可能无法解释同样的六边形单元何以在纸黄蜂的蜂巢中也有发现，它们不是用蜡构筑蜂巢，而是用嚼碎的纤维木絮和植物茎絮，用这些东西可以造出一种纸来。这里不只是没有表面张力的作用，而且似乎显而易见的是，不同种类的黄蜂遗传了它们各自不同的“建筑设计”天性，这种“建筑设计”由一个物种明显地变化为另一个。
尽管肥皂泡薄膜连接的几何图形是用物理上力的相互作用表述的，但它没有告诉我们泡沫的形状将会是什么。典型的泡沫包括了许多不同形状和尺寸的多面体单元。近距离观察，你就会发现它们的边缘很少是完全直的，而是有一点弯曲。那是因为细胞和气泡中气体的压力在气泡变小时变得更大了，因此靠近较大气泡的小气泡墙朝外轻微凸起。此外，有的面有五边，有的有六边，甚至有的只有四边或者三边。只要气泡墙发生小小的变形，所有这些形状就可以变成接近力学稳定性所需“四面体”结构的四向连接。所以，在这样的单元形状中，这真的有点柔性（这种柔性的确对应于物理学上的柔性）。泡沫在遵循几何规则时，是相当不规则的。
设想你能做一个“理想”泡沫，泡沫中所有的气泡都具有相同的尺寸，那么，在连接处满足所有角度要求使总的气泡墙面积尽可能小的理想单元形状是什么？这个问题已经争论了很多年了，而且在相当长一段时间内被认为理想的单元形状是一个同时具有矩形面和六边形面的14边多面体。可在1993年，一种稍微更加经济的——尽管不是很有序——结构被发现了，该结构由包含八种不同单元形状的重复团（repeating group）构成，这种更复杂的模式被用作2008年北京奥运会游泳场馆气泡状设计的灵感。
气泡中单元形状的规则也控制着在活细胞中看到的某些模式。不只是苍蝇的复眼展示出像气泡筏一样的一组六边形面，而且在每个晶状体中的感官细胞也以4个1组的方式如肥皂泡沫般地聚集在一起。（以上由陈开壮翻译）
由于表面张力，线圈中间的肥皂泡薄膜会像蹦床那有弹性的床面一样被拉成平面。如果将线圈弯曲，那么肥皂泡薄膜会随之弯成一个优雅的轮廓，自动告诉你最经济的做法。用材料学术语来说，就是遮没被线圈所包围的空间。这可以让建筑师知道该如何使用最少的材料给一个结构复杂的建筑造一个屋顶。无论如何，由于这些被称为“最小曲面”的美丽优雅，以及它们的经济性，弗雷·奥托（Frei Otto）等建筑师已经将它们应用在了自己的建筑中。
这些曲面的最小化不仅体现在它们的表面积上，还体现在总曲率上。弯曲越大，曲率就越大。曲率可以是正数（对于凸的结构），也可以是负数（对于倾斜、凹陷和马鞍状结构）。于是，当正负互相抵消时，就会出现曲面的平均曲率为0的情况。
所以一个片状结构可以由各种曲面构成，且其平均曲率非常小甚至为0。这样一个具有最小曲率的曲面可以将空间分成一个有序的，由孔道构成的迷宫——形成一个网络。这被称作周期性最小曲面。（周期性仅仅用来描述同一种结构一次又一次重复出现的情况，换句话说，这是一种有规律的模式。）当这些模式在19世纪被发现的时候，它们似乎仅仅是一种数学游戏。但现在我们知道，大自然在应用这些模式。
许多不同的生物体，从植物到七鳃鳗到鼠，这样的微观结构存在于构成它们细胞的膜结构中。没人知道为什么会有这样的微观结构，但是它们如此广泛地存在着，使我们不由得猜测，它们一定在扮演着某种重要的角色。也许这些结构把一个个生化反应彼此分隔开来，避免它们发生交互，相互干扰。或者，也许这只是一种高效的方式，创造出了很多“工作面”，因为很多生化反应都发生在膜结构表面，这些膜中镶嵌着酶和其他活性分子。无论它的功能是什么，你都不需要借助复杂的基因指令来创造这样一个迷宫：物理定律会帮助你把它实现。
一些蝴蝶，比如Europe green hairstreak和emerald-patched cattleheart，它们翅膀鳞片中含有由一种叫作几丁质的坚韧物质整齐排列而成的迷宫状结构，类似于一种被称作螺旋二十四面体的周期性最小曲面。光照射到翅膀鳞片表面这些有序的结构和其他结构上，发生反射并产生干涉，使某些波长的光——也就是颜色——消失，同时另一些波长的光增强。于是，这些微观结构有了一个作用，就是使蝴蝶翅膀呈现出五彩斑斓的色彩。
Cidaris rugosa海胆的骨骼是一种由另外一种周期性最小曲面构成的多孔的多边形网状结构。实际上，这是外骨骼，存在于生物体软组织的外部，形成一个外壳来保护生物体。这外壳上伸出一些看上去很危险的突起，这些突起是由与粉笔和大理石同样的矿物质构成的。这种开放的晶格结构意味着材料坚韧但并不沉重，就像用于制造航空飞行器的金属泡沫一样。
为了把坚实而僵硬的矿物质变成有序的网状结构，这些生物体似乎首先用柔软而灵活的膜结构做了个模子，然后使得坚硬的材料在一个个相互连通的网格中结晶。其他生物会铸造有序的矿物质泡沫来实现更加复杂的目标。由于光可以被模式化的微观结构反射，那些网格状的结构可以像镜子一样对光的传播进行限制和引导。海鼠（sea mouse）是一种独特的海生蠕虫，它体表的几丁质突起具有蜂巢状排列的微管结构。海鼠可以将这些毛发状的结构变成天然的光纤来传导光，通过改变光入射的方向可以使自己由红色变成蓝绿色。这种改变颜色的举措可能是为了防御捕食者。
这种使用柔软的组织和膜作为模子来构建模式化的矿物质外骨骼的原则在海洋生物中被广泛采用。一些海绵的外骨骼由以攀爬架状连接的棒状矿物质结晶构成，看上去与肥皂泡的结构惊人的相似——不是巧合，是表面张力造就了这样的结构。
这种被称为生物矿物化的过程在放射虫和硅藻这些海洋生物中产生了惊人的效果。它们中的某些种类具有精致的网格状矿物质外骨骼，由六边形和五边形组成：你或许可以称之为海洋中的蜂巢。19世纪末，当德国生物学家（同时也是一个有才华的艺术家）Ernst Haeckel第一次用显微镜看到它们的形态的时候，他将它们画下来并集结成册，名为《自然界的艺术形式》（Art Forms in Nature），使它们有了明星般的吸引力。这本画集在20世纪初的艺术家中很有影响力，直到今天仍然广受赞誉。对于Haeckel来说，它们似乎为自然界以创造性和艺术性为本的观点提供了证据——对于秩序和模式的偏好是内置在基本自然法则中的。虽然我们现在并不赞同这个观点，但是正如Haeckel所确信的那样，模式的形成是自然界抑制不住的冲动，我们完全有权利去探寻美。（以上由刘清晴翻译）
（图片均来自于网络）
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复杂文摘翻译第2期
编辑：Dandelion
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