用乐高积木给你的宝宝讲懂贝叶斯定理
贝叶斯理论是数学中一个简单而重要的理论，它的核心目的是帮助我们用一个事件的信息去理解另一个事件。接下来我们试着用一个乐高的实验去理解这些公式，看看它到底在讲一个什么故事？
编译：集智俱乐部翻译组
来源：countbayesie
原题：Bayes' Theorem with Lego
关于贝叶斯定理
关于贝叶斯定理
贝叶斯理论简单来说就是下面这个等式：
这个公式本身并没有那么可怕，它甚至都没有求和号。不过公式的背后描述的到底是个什么故事？让我们用一堆乐高积木和一些具体的问题来探索贝叶斯理论。
积木的概率空间
我们有一个面积为6*10的乐高积木拼图，我们把它假设成乐高积木的概率空间，在这个空间下有蓝色、红色、黄色的乐高积木，其中黄色的积木在红色和蓝色积木的上方，接着我们尝试着用更数学化的语言来描述这堆积木，比如从概率的角度：
在积木的底层，有60块小积木，其中蓝色40块，红色20块，用概率描述也就是积木为蓝色的概率以及积木为红色的概率，可以表示成以下公式：
重要的是，这两个概率的加和为1，也就是：
也就是说红色积木和蓝色积木可以组成整个概率空间，那么黄色积木去哪里了呢？
看上面的图片，如果我们要从这个6*10的积木拼图中随机取出一个积木，这个积木是黄色的概率为：
但是我们无法直接将P(黄色)与P(红色)、P(蓝色)的概率相加，否则你会得到一个超过1的值。实际上黄色积木的下面要么是蓝色积木要么是红色积木，而取出一个黄色积木的概率，与它处在红色概率空间还是蓝色概率空间有关，我们把这种概率叫做条件概率，用P（黄色|蓝色）表示在蓝色概率空间下取出黄色积木的概率。
通过看图算出条件概率
通过看图算出条件概率
可视化贝叶斯定理
解决红色概率空间下取出黄色乐高的概率
我们怎样才能算出这个条件概率呢？实际上如果我们要算出P(黄色|红色)，我们或许会经历几步：
将红色积木和蓝色积木分开
我们得到面积为2*10的红色概率空间
在这个空间上，黄色积木有4块
将黄色积木和红色积木分开
计算出P(黄色 | 红色) = 4/20
很棒，到目前为止我们计算出了给定红色概率空间下，取出黄色积木的概率。但是，如果我们将事件和条件反过来，如何计算在取出的积木是黄色的条件下，下方积木是红色的概率，也就是如何计算P（红色|黄色）呢？
尝试着观察黄色积木下的红色积木
通过看这个图，你很容易能发现，一共有6块黄色积木，其中2块下面是蓝色，4块下面是红色，所以取出一个黄色积木下面是红色积木的概率就是4/6。如果你是这样思考的，那么也就恭喜你，成功地独自的探索了一遍贝叶斯定理。
通过数学计算条件概率
通过数学计算条件概率
如何用数学的表达来重复我们上面的过程呢？
相比数学的语言是简单而严谨，人类的直觉在推理过程中总是跳跃的。从直觉到贝叶斯定理，我们还需要费些功夫。
首先我们试着用数学的语言，推出“一共有6块黄色积木”这个结论。推出这个结论，我们只需要用通过以下计算：
黄色积木的个数 = P(黄色) * 总积木的数量 = 1/10*60 = 6
接着，如何得到“其中4块底下是红色”这个结论呢？
最后计算出红色积木上是黄色积木的概率：
第一我们先算出红色积木的数量，跟上面的计算方式相同：
红色积木的个数 = P(红色) * 总积木的数量 = 1/3*60 = 20
第二，在我们已经知道P（黄色|红色)，也就是底层是红色积木的条件下取出黄色积木的概率时，我们可以得到：
在黄色下面的红色积木的个数 =
P(黄色|红色) * 红色积木的个数 = 1/5*20 = 4
P(红色|黄色) = 在黄色下面的红色积木的个数 / 黄色积木的个数 = 4/6
不过这还不太像贝叶斯公式，我们再重写梳理一遍这个过程：
P(红色|黄色) = P(黄色|红色) * 红色积木的个数 / P(黄色) * 总积木的数量
P(红色|黄色) = P(黄色|红色)* P(红色) * 总积木的数量 / P(黄色) * 总积木的数量
最终我们得到：
P(红色|黄色) = P(黄色|红色)* P(红色) / P(黄色）
这就是贝叶斯定理！
回顾一下
回顾一下
上面的实验提到了两点：
概念上，贝叶斯定理是服从直觉的。（我们只是用数学语言重写了一遍我们的直觉的推理。）
同时，贝叶斯定理的形式化表示，不一定是显而易见的。（推出最终的公式，我们还需要多几步数学的表达）
数学的好处在于，它把我们的直觉变成了推理，这样了既保持了跟直觉的一致性，又能提供一个新的有效的工具，去解决那些比乐高积木更复杂的问题。
如果想了解更多关于，贝叶斯定理和贝叶斯推理的故事，你可以参看这些帖子：
Learn about Bayesian Priors with Han Solo
https://www.countbayesie.com/blog/2015/2/18/hans-solo-and-bayesian-priors
Understand Bayes' Factor and Bayesian Reasoning by exploring a classic episode of the Twilight Zone
https://www.countbayesie.com/blog/2016/3/16/bayesian-reasoning-in-the-twilight-zone
Use Bayes' Theorem to reason about the probability that your friends are really allergic to gluten
https://www.countbayesie.com/blog/2016/1/22/why-you-should-believe-your-friends-claims-about-food-allergies
翻译：文雷
编辑：王怡蔺
原文：
https://www.countbayesie.com/blog/2015/2/18/bayes-theorem-with-lego
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