前沿解读:基于本征微观态分析复杂系统相变与临界现象
导语
相变与临界现象的研究对象逐渐由过去的无穷大平衡系统扩展到自然与社会复杂系统。我们知道,平衡系统微观态的分布是已知的,而复杂系统一般处于非平衡态,其微观态分布以及序参量一般来说都是未知的,这就给复杂系统的研究提出了挑战。针对这些问题,北京师范大学的陈晓松教授与合作者提出了一个基于本征微观态(Eigen microstates,EM)的理论方法来分析复杂系统的相变与临界现象以及其动态演化。
晏丽 | 作者
刘培源 | 审校
邓一雪 | 编辑
论文标题:
Eigen microstates and their evolutions in complex systems
论文网址:
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1572-9494/abf127
1. 基于本征微观态的理论方法
1. 基于本征微观态的理论方法
系统科学的核心问题是研究各个领域内复杂系统集体行为的涌现机制。而相变与临界现象则是系统最显著的集体行为。当前人们迫切的希望能够研究涉及气候、生命、生态、社会、金融等自然和社会复杂系统。对于这些复杂系统,分析它们的临界因素是否已经接近或者到达临界点,以及不同的临界点之间是否由关联,是复杂系统研究的重大科学问题。而研究复杂系统的相变以及临界现象,怎样研究处于非平衡态或者系统的序参量未知的复杂系统一直是困扰研究者的难题。下面简要介绍该团队提出的新方法。
论文作者从吉布斯提出的系综理论出发,定义一个统计系综,该系综由一个具有N个成分的复杂系统中的M个微观态组成,这个统计系统由归一化的N×M的统计系综矩阵A表示。其中矩阵A的列描述系统的微观态,行与时间有关(系统个体的时间序列)。对A进行奇异值分解,统计系综可被分解为:
在这里 r=min (N, M),其中,U1为本征微观态,V1为该本征微观态遵循的时间演化,⊗表示克罗内克积,其中σ1表示U1在系综中的概率,满足归一化条件
用这样的方法,可以将原来相互关联的微观态转变为相互独立的本征微观态,就可以将最初的微观态用本征微观态进行线性组合,这个线性组合的大小与本征值σ1(即权重因子)成正比,即σ1越大,占比越多。
一般来说,在一个无序的复杂系统中并不存在一个主要的本征值和微观态。但当我们将微观态转变为本征微观态时,原来的每个微观态都可以看作一系列的本征微观态的线性求和,当某个权重因子σ1为有限值的时候,统计系综就会产生本征微观态U1的凝聚,这种凝聚与玻色气体中的玻色-爱因斯坦凝聚类似。这也就表明产生了U1的涌现以及产生了相变。
研究者将本征微观态的方法成功的应用于三维伊辛模型、地球系统、股票市场这三种不同的复杂系统中,揭示了这些复杂系统的临界现象以及相变。
2. 本征微观态在平衡系统中的应用
2. 本征微观态在平衡系统中的应用
伊辛模型(Ising model)是一类描述物质相变的随机过程(stochastic process)模型。物质经过相变,要出现新的结构和物性。系统各组分之间有相互作用,发生相变的一般是组分之间有较强相互作用的系统。
伊辛模型所研究的系统由多维周期性点阵组成,点阵的几何结构可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数,即自旋向上或自旋向下。伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用,点阵的位形用一组自旋变数来确定。常见的二维伊辛模型示意图使用箭头方向表示自旋方向。
图1. 伊辛模型的概念图
对于处于平衡状态的三维伊辛模型,该团对通过研究本征微观态U1的空间分布来观察相变的特性。对于一个在三维空间的本征微观态,给出了四个等距的截面图来展示其空间分布。其中,在T*=5.5116时(高于临界温度),从图中可以看到,这些本征微观态中的自旋簇都具有微小尺寸,且在空间中随机分布。在T*=4.5116时(接近临界温度)以及在T*==3.5116时(低于临界温度),最大的本征微观态EM1产生一个凝聚。这表明,当本征微观态的概率变得有限时,就会出现一个铁磁相变。
3. 本征微观态在非平衡系统中的应用
3. 本征微观态在非平衡系统中的应用
1. 本征微观态揭示地球系统中的气候模式
图4. 地球的六大本征微观态的空间分布(左)以及其随时间演化的示意图(右)
图7 左图展现了1950-2018的平均海面温度分布图,右图展现了1979-2018的年平均降雨量分布图。
图9. 海洋尼诺指数(ONI)(红线)与超90天本征微观态EM5随时间的演化V5平均值(黑线)的对比图
图10. 股票市场三大本征微观态随时间的演化V1V2V3(左图)与中国股票市场的三大本征微观态随时间的演化(黑线)与三大指数:上证100指数、上证能源指数、上证材料指数随时间演化(红线)的对比图(右图)。
4. 复杂系统研究的新路径
4. 复杂系统研究的新路径
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