PRL速递：伊辛模型建模动物皮肤复杂斑图

摘要

单眼蜥蜴的皮肤表现出由单色黑色和绿色皮肤鳞片共同组成的复杂颜色斑图，其颜色翻转的动力学能够被随机元胞自动机较好地建模。我们表明，斑图的后期概率分布对应于反铁磁伊辛模型的正则概率分布，并且可以通过与常用的 Glauber 不同的动力学生成。最后，我们对由伊辛模型在低温极限下的三角晶格上生成的皮肤鳞片斑图进行了评论。

The ocellated lizard (Timon lepidus) exhibits an intricate skin color pattern made of monochromatic black and green skin scales, whose dynamics of color flipping are known to be well modeled by a stochastic cellular automaton. We show that the late-time probability distribution of the pattern corresponds to the canonical probability distribution of the antiferromagnetic Ising model and can be generated by dynamics different from the commonly-used Glauber. We comment on skin scale patterns generated by the Ising model on the triangular lattice in the low-temperature limit.

研究领域：斑图形成，伊辛模型，元胞自动机，自组织

王百臻 | 作者

邓一雪 | 编辑

论文题目：

Lizard Skin Patterns and the Ising Model

论文地址：

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.128.048102

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同一物种内，个体之间的肤色斑图高度相似，比如斑马的条纹和猎豹的斑点。然而，如果仔细观察，每个个体都有着独特的斑图细节。根据肤色斑图可能发生的改变，可以将物种分为以下三类：在第一类物种中，个体一生都表现出相同的肤色斑图；在第二类中，肤色斑图在幼年和成年之间发生急剧转变；第三类物种的肤色斑图会从幼年斑图逐渐转变为成年斑图。单眼蜥蜴（Timon lepidus）属于第三种情况。其单个鳞片是绿色或黑色，背部迷宫图案由黑色和绿色鳞片链组成，通过单个鳞片由绿色到黑色，或黑色到绿色的渐变过程生成。这种颜色的转变通常需要几周时间，有些甚至长达过程开始后的3-4年。

过去，这类现象通常可以由图灵的反应扩散方程来描述。近日，日内瓦大学的 Michel Milinkovitch 及其同事现在 PRL 发表论文表明，反铁磁伊辛模型可以更好地描述这些尺度下形成最终肤色斑图的过程。

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此前，该团队通过元胞自动机为蜥蜴鳞片的演变与分布建模，其中网格上的细胞根据明确定义的规则演化。两态随机元胞自动机 (sCA)  能够有效地描述离散化的皮肤鳞片的颜色变化行为。在该模型中，时间步长表示随着蜥蜴的生长而增加的时间间隔。问题是，该模型需要多达 14 个参数。为了寻求更简单的描述，研究人员考虑了反铁磁模型，其中材料中的原子或分子在自旋状态之间翻转，因此相邻粒子往往具有相反的自旋。该模型只有两个参数：相邻粒子之间的相互作用，以及外部磁场的强度。

图1：伊辛模型和 Lizard sCA 模型的结果对比示意图，发现模型效果相仿。伊辛反铁磁模型精确地再现了蜥蜴鳞片随时间改变颜色的方式。

Milinkovitch 及其同事发现，反铁磁伊辛模型准确地再现了这些蜥蜴鳞片颜色的时间演变、最终图案的图像性质以及绿色和黑色鳞片之间的平衡。在该模型中，鳞片避免与太多相邻颜色相同的趋势类似于反铁磁体中自旋之间的相互作用。而类似于磁场的外力，皮肤产生了对黑色鳞片的轻微偏好，而不是绿色鳞片。

通过比较两种模型的内在动力学，研究人员证实，反铁磁伊辛模型和 Lizard sCA 模型在描述蜥蜴肤色演化趋势问题中具有相似的表现。两个模型都给出了针对蜥蜴皮肤颜色变化动力学的高质量近似结果。动力学模拟也表明，在实际运算过程中，两种模型具有相似的遍历行为，时间约为几十个 CA 时间步长。

图2：极坐标系下三角晶格上伊辛模型的参数空间，径向坐标映射到有限范围。其中表示的是具有不同类型基态斑图的八个区域。该系统在区域 (i)-(v) 中表现出有序性，在 (vi)-(vii) 中表现出无序。红星表示优化的蜥蜴伊辛模型在有限温度下的位置。

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在证实了反铁磁伊辛模型的良好性质后，研究人员还希望知道自然选择是否导致该物种偏爱某种特定的斑图和色彩平衡；为了进一步探讨这个问题，他们计划进一步研究其他具有皮肤鳞片翻转动力学的物种，其肤色斑图可能不同于单眼蜥蜴，但依旧符合经典的概率分布。

进一步研究的另一个可选方向，是阐明细胞生物学参数如何影响颜色之间的比例和颜色翻转的概率，以及在哪些情况下可以拟合伊辛模型。该研究将会把三个空间尺度联系起来：细胞之间的“微观”相互作用，介观尺度下皮肤肤色的翻转概率，以及关于皮肤颜色斑图的“宏观”描述。

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