【抛物线压轴题】等腰三角形存在性

1

两个定点已知，一个动点待求

      已知两个定点A、B的坐标，找动点P使△ABP是等腰三角形。通常，点P在抛物线上或者在x轴、y轴、对称轴上。

例如：

     此时，不知顶角是谁，也不知道谁是腰，谁是底边，因此需要以顶角顶点是谁分为三种情况，即：

            ①A为顶角顶点，则AB=AP[以A为圆心AB长为半径画圆，找与x轴交点P1，P2]；

            ②B为顶角顶点，则BA=BP[以B为圆心AB长为半径画圆，找与x轴交点P3,P4]；

            ③P为顶角顶点，则PA=PB[P在AB的垂直平分线与x轴交点处P5]。

    此法简称“两圆一线”（几何法）；找到点P位置如下图：

求点P坐标方法：

        设点P坐标（m,0）,可以借助两点间距离公式解决，也可用勾股定理。两点间距离公式如下：

教学板书如下：

我们推荐采用代数法（即两点间距离公式）求解。

     我们来看两圆一线如何应用，请看以下例题：

例1

（2016•江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_______。

2

一个定点已知，两个动点

      已知定点A的坐标，找动点B、C使△ABP是等腰三角形。通常，点B、点C在某直线上，坐标之间有关系。

       此类问题可以通过两点间距离公式，求出各边的平方，然后分三种情况讨论相等。也可借助几何特征，见等腰三角形，三线合一作高，构造直角三角形找坐标关系（可能用到三角函数、相似）解决。如下面例题：。

例2

（2016·上海市崇明县二模）已知，一条抛物线的顶点为E（-1，4），且过点A（-3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且-3＜m＜-1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求证：GH=HK；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．

此题我校教师在2017-12-26下午教研时，探讨了此问题，收集部分教师解答过程在此：

方法一：代数法（两点间距离公式）  此法由石*老师书写。

方法二：三线合一做高。此法本人书写。

对此题可拓展一问等角存在性，问题如下：

提示解法如下：

参考解答：

例3

（2016•潮南区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．

参考解答：

第（1）、（2）不是本处研究重点，因此参考答案不予给出，可拍照搜题查看。

注：本文手写解答可以点击图片查看高清原图。

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