【中考解析】2018年天津压轴题——旋转出隐圆，含参出定点（线）》
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本文选择的是2018年天津卷中的最后两道压轴题.
一、例题解析
例1.（2018年天津卷倒二题）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0,0），点A（5,0），点B（0,3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O、B、C的对应点分别为D、E、F.
（1）如图1，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图2，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.
①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标；
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
反思：旋转的本质是图形上的每一个点绕旋转中心在同心圆上作同步运动，故而旋转出隐圆.本题的难点是最后一问，这里首先作出点D所在的轨迹圆⊙A，而DE始终为⊙A的切线且DE＝3，要使△KDE的面积取最值，只要使DE边上的高取最值即可；
如上图所示，过⊙A上的任意点D作切线DE，作KG⊥DE于点G，交⊙A于点R，再过点K作直径D1D2，则KG≥KR≥KD1，当且仅当点D与D1重合时，KG取最小值，此时△KDE的面积最小；另外，KG≤KD≤KD2，当且仅当点D与D2重合时，KG取最大值，此时△KDE的面积最大.
反思：本题是一道含参型二次函数问题，并与角的存在性问题巧妙结合，第（1）问代入点坐标即可，属压轴题中的送分问；
第（2）问，要基于参数分析，用参数m表示出顶点P的坐标，发现其始终在另一条抛物线上运动，然后根据题中45°条件，得出顶点P又在直线y＝－x上运动，将其联立，即可求解，这是所谓“交轨法”的来龙去脉；
第（3）问，是本题的压轴问，其基本的解题之道是：首先将抛物线中含有参数m的所有项结合在一起，提取m，令其系数为0，可求得定点H的坐标，此谓定值问题中笔者常说的“你的眼中只有参数m”，这是求含参型定值、定点、定线问题中常采用的伎俩；发现定点H的坐标后，继续结合45°角存在性问题，联想构造等腰直角三角形，再造“一线三直角”，求出一些“特殊点”的坐标；最后，依然利用所谓“交轨法”，求出顶点P的坐标，进而解决问题.
以上解法中，多次提及交轨法.所谓交轨法，即求交点坐标的方法.
根据条件，得出目标动点所在的两条函数图像的解析式，将其联立，解方程组即可求得交点坐标：如求两直线的交点坐标、直线与双曲线的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标，甚至于直线与圆的交点坐标等.理论上，所有的交点问题，都可以采取“交轨法”求解.
本题第（2）问及第（3）问都属于角的存在性问题，当目标角含有一条水平边或竖直边时，可构造直角三角形，直接利用正切值进行计算，其核心结构如右图所示；
当目标角的两条边既不含有水平边，也不含有竖直边时，一般也可以先构造直角三角形，再构造“一线三直角”，其核心结构如右图所示.
这里其实也算是正切处理，但因为构造的直角三角形三边都是斜置的，不好表示，因而继续构造“一线三直角”，达到化斜为直之效，而这里的tana提供了相似比.
另外，含参型函数问题，也是中考的热点话题，它经常考查变化中的不变量，如本题中顶点P所在的定线问题以及定点（H）问题等，这需要学生善于运用含参的眼光看问题，一方面视参数m为常数，进行相关运算；另一方面，学生心中又要清楚，参数m毕竟是变量，它当然是变化的，在变化中捕捉不变的量或不变的关系，是数学研究的永恒.