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几何画板解析2017年广东中考倒一(几何背景)

2017-09-08 永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂



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 (2017·广东倒一)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点AC的坐标分别是A02)和C2×根号30),点D是对角线AC上一动点(不与AC重合),连结BD,作DEDB,交x轴于点E,以线段DEDB为邻边作矩形BDEF

1)填空:点B的坐标为    ;

2)是否存在这样的点D,使得DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;

3求证:DEDB=根号33

AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用的结论),并求出y的最小值.




【图文解析】


(注:本题的解题思路和各种解法与“2017年福建中考倒二”几乎相同,此文主要从“旋转相似”的一个侧面解析此题,不再详细解析,只能给出一种解法和思路,有兴趣的朋友,可直接“点击标题打开”查看,本文主要是以构造 “辅助圆”的思路解析此题。)


1)简析:如下图示,



2)解法多种,主要讲解构造“辅助圆”来解,根据∠BDE=∠BCE90°同在四边形BDEC中,易联想到“四点共圆”:取BE的中点K,连接DKCK,根据“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半”可得:CKDKEKBK0.5BE,所以:

由圆周角定理,可得∠1=∠2.

同时,在RtAOC中,tan3OA/OC=…=根号3/3,得∠330°.


下面分不种情况解析:何时△DEC是等腰三角形.

①当DEDC时,如下图示,可得到:

进一步地,

又由于:


②当CD=CE时,如下图示,

进一步地,


DEDC不可能相等,如下图示:


       综上所述,存在点D的点符合△DCE为等腰三角形,满足条件的AD的值为22倍的根号3


3)先考虑特殊情况:当BDAC时,如下图示,不难得到∠DBE=30°,从而DEDBtanDBE=根号33.


    法一如下图示,由前面分析得到的结论,易证△BDM∽△BEC,从而BDDE=BMBC=tanCBM=tan30°=根号33.


   法二:如下图示,

    易证△DBE∽△ABC,得到DE:DB=BC:AB=…….

    ②由上述法二得,△DBE∽△ABC,再由相似的性质,知:



【反思】本题也是典型的“旋转(平移)相似”试题,找出其中相关的相似和比例关系是解题的关键。



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