几何画板解析2017年广东中考倒一(几何背景)
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(2017·广东倒一)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2×根号3,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:点B的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证:DE:DB=根号3:3;
②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.
【图文解析】
(注:本题的解题思路和各种解法与“2017年福建中考倒二”几乎相同,此文主要从“旋转相似”的一个侧面解析此题,不再详细解析,只能给出一种解法和思路,有兴趣的朋友,可直接“点击标题打开”查看,本文主要是以构造 “辅助圆”的思路解析此题。)
(1)简析:如下图示,
(2)解法多种,主要讲解构造“辅助圆”来解,根据∠BDE=∠BCE=90°同在四边形BDEC中,易联想到“四点共圆”:取BE的中点K,连接DK和CK,根据“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半”可得:CK=DK=EK=BK=0.5BE,所以:
由圆周角定理,可得∠1=∠2.
同时,在Rt△AOC中,tan∠3=OA/OC=…=根号3/3,得∠3=30°.
下面分不种情况解析:何时△DEC是等腰三角形.
①当DE=DC时,如下图示,可得到:
进一步地,
又由于:
②当CD=CE时,如下图示,
进一步地,
③DE与DC不可能相等,如下图示:
综上所述,存在点D的点符合△DCE为等腰三角形,满足条件的AD的值为2或2倍的根号3.
(3)先考虑特殊情况:当BD⊥AC时,如下图示,不难得到∠DBE=30°,从而DE:DB=tan∠DBE=根号3:3.
①法一:如下图示,由前面分析得到的结论,易证△BDM∽△BEC,从而BD:DE=BM:BC=tan∠CBM=tan30°=根号3:3.
法二:如下图示,
易证△DBE∽△ABC,得到DE:DB=BC:AB=…….
②由上述法二得,△DBE∽△ABC,再由相似的性质,知:
【反思】本题也是典型的“旋转(平移)相似”试题,找出其中相关的相似和比例关系是解题的关键。
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