几何画板解析2017年湖北荆门中考倒一（几何背景）

Original 2017-09-22 吉林　陈敏 初中数学延伸课堂

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(2017•湖北荆门)已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，∠C=90°,OB=25,OC=20.若点M是边OC上的一个动点（与点O,C不重合）,过点M作MN∥OB交BC于点N.

(1)求点C的坐标.

(2)当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时,求CM的长.

(3)在OB上是否存在点Q,使得△MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出此时MN的长;若不存在,请说明理由.

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(1)由在Rt△OBC中，OB=25,OC=20，∴BC=15.根据等面积法:
1/2OB·CD=1/2OC·OB,∴CD=12.在Rt△OCD中OD=16.∴C(16,-12).

(2)∵MN∥OB，∴△CMN∽△COB.设CM=x,则CN=4x/3,OM=20-x,　BN=15-4x/3.∴CM+CN+MN=OM+OB+BN+MN,即x+4x/3=20-x+25+15-4x/3,解得x=120/7,即CM=120/7.

(3)因为△MNQ是等腰直角三角形,但由于题目没给定具体直角边,所以分为三种情况讨论.

由(2)可知,△CMN∽△COB.设CM=x, 则CN=4x/3,MN=5x/4.

① 当∠QMN=90°,QM=NM时，△OMQ∽△OBC,MQ:BC=OM:OB,
即5x/4:15=(20-x):25,
解得x=240/37. MN=5x/4=300/37.

① 当∠MNQ=90°,QN=MN时,此时四边形Q1MNQ2是正方形，由①得MN=300/37.

①    当∠MQN=90°,MQ=NQ时, △HMQ和△QMN都是等腰直角三角形,由相似或三角函数可得，HM=5x/8.再由△OMH∽△OBC,
    MH:BC=OM:OB,
   即5x/8:15=(20-x):25,
解得x=480/49.MN=5x/4=600/49.

【反思】由相似三角形的性质和直角三角形的性质，需想到以点Q、M、N为顶点的三角形与△OBC相似有三种情况.

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