第

4

讲

考

动态图形中不变量之全等

配合《全等三角形》教学进度

（注：适合于人教版八年级）

动态几何图形，“变”与“不变”是辩证关系．“不变”是内涵，本讲主要探究动态几何图形中，隐含的一组全等三角形之“不变量”。

典例赏析

题目：如图，两个边长为6的等边三角形拼出四边形ABCD，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t秒．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．当t为何值时，DF的长度有最小值．

【分析】由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（注：点E在运动过程中，隐含着全等不变量△DCF≌△BCE）

变式题组

题型1：

如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．

【分析】当E、F在相应的边上运动时，均存在两组全等三角形（不变量）△AEC≌△CFB，△ABF≌△BCE，如此就可以生成许多结论，亦可演变出很多题目．

（注：这题的变式很多，但明确动态图形中的不变量可抓住题目内涵）

题型2.

【分析】当△ECD在绕点C旋转时，均存在一组全等三角形（不变量）△ACD≌△BCE，若标记点或添加线段，则生成更多组全等三角形，亦可演变出很多题目．

（注：具体的分析详见公众号

1.探究共顶点旋转变换中的不变量

2.探究共顶点旋转变换中的不变量（续））

达标检测

1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.

(1)请寻找一组全等，并说明其全等关系在动态中保持不变的理由？

(2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

2.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．

（1）探究在图形的变化中，及点P的运动中是否存在一组或几组全等三角形？

（2）运用上述结论，探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系．

（注：请认真对照以上四个图形，发现图形演变的过程，并归纳并分析其全等不变量的规律，从而得到解决这类题型的思路！）

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