2017-2018年度福建厦门九上质检倒二（圆）解析
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（2017-2018·厦门九上质检倒二）已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆上不与A，B重合的两点，且点N在弧MB上.
（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，P是MN的中点，连接MB，NA，PC，试探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之间的数量关系，并证明.
由本题的已知条件，有很多条常用的辅助线，如直径AB→直角，由MC⊥AB（为直径）→垂径定理，M是中点→三角形的中位线定理等.同时所探究的“∠MCP，∠NAB，∠MBA”之间的数量关系不都在圆上，因此需想方设法通过转化为圆上相关的角.
法一：由MC⊥AB（为直径）→垂径定理，可补全整个圆，根据垂径定理知CM＝CD，进一步可利用三角形的中位线定理，得到PC∥DN，所以∠MCP＝∠D，如下图示，
在△ABE中，∠BEN＝∠NAB+∠MBA，在△BNE中，∠BEN+∠NBE＝900，而∠NBE＝∠D＝∠MCP. 所以∠MCP+∠NAB+∠MBA＝900.
法二：由“弦MN的中点P及圆心O”→垂径定理，因此可连接OP，得到OP⊥MN，得∠OPM＝900，而同时MC⊥AB，得∠MCO＝900，如下图示，
取OM的中点F，根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，可以得到FO＝FC＝FM＝FP，从而M、C、O、P四点均在以OM为直径的圆上.
【反思】厦门的试题，真的很有深意，耐人寻味，学习和解析厦门的试题收获甚多.
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