【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(3)(矩形、菱形与折叠)
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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请作出点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
（1）本小题证法多种，仅提供最常见的一种，如下图示：
因对折显然有AO=CO有EF⊥AC，利用△AOE≌△COF，可得EO=FO，所以四边形AFCE是菱形.
（2）如下图示，设AB＝x，BF＝y.
由勾股定理，得x2+y2=102；由△ABF面积公式，可得：0.5xy=24，即xy=48.
进一步，(x+y)2= x2+y2+2xy=…＝196，所以x+y=14（﹣14舍去）.所以△ABF的周长为：
x+y+AF=14+10=24．
（3）由“2AE2=AC•AP”化为比例式”2AE/AC＝AP/AE”,即“AE/（0.5AC）＝AP/AE”，又因为0.5AC＝OA，所以只需作出满足“AE/OA=AP/AE“即可.
因此只需找到一个点P，使得△AOE∽△AEP.显然因△AOE为直角三角形，同时有一个公共角∠EAC，同时，所以只要作出△AEP是直角三角形即可，故过E作EP⊥AD．过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．如下图示：
理由如下：
证明：由作法，∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，
又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴AE/AP＝AO/AE，
∴AE2=AO•AP（10分）
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO=0.5AC，
∴AE2=0.5AC•AP
∴2AE2=AC•AP
即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．
【拓展练习】已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），G是边BC延长线上的一点，CG＝0.6CD，将纸片折叠一次，使点A与G重合，再展开，此时折痕恰好经过D点，且交边BC于F点，分别连接AF和DG．
（1）求证：四边形AFGD是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
(解法与原题类似，这里略去)
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