2017年湖北襄阳中考填空压轴(直角三角形与轴对称)

Original 2018-01-23 福州延安　张丽华 初中数学延伸课堂

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（2017·襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为　　．

【图文解析】

法一：由∠ACB=90°，翻折到AB边上的点F处，很自然会想到用一线三等角来解决这道题: 分别过点D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，可得到△DGF∽△FHE，如下图示：

再根据∠CDE=∠B，可知△CDE∽△CBA，及AC=8，AB=10，可知△CDE三边之比为3：4：5，因此，设CD＝３ｘ，可得CE＝４ｘ，从而AD＝8-3x，ＢＥ＝6-4x，利用∠Ａ的正弦值，可得DG＝3/5(8-3x)，AG=4/5(8-3x)同样，可求得EH＝4/5(6-4x),BH=3/5(6-4x)；由△DGF∽△FHE，相似比=3：4，可求得FH=4/3DG=4/5（8-3x）,GF =3/4EH=3/5(6-4x)，最后，由AG+GF+FH+BH=10，建立方程即可解得x=25/24,即CD=25/8，如下图示：

法二：由翻折，可知∠C=∠DFE=90°，因此C、D、F、E四点在以DE为直径的圆上，因此，弧CD所对的圆周角∠2=∠3，由CD=DF，可得∠1=∠2，已知∠CDE=∠B，则∠3=∠A，那么∠1=∠A，推得CF=FA，同理，CF=BF，即点F为AB中点，CF=1/2AB=10；如下图示：

此时由∠2=∠A，可发现△CFE∽△CBF，由对应边成比例可得CF²=CD·CA，即可求得。

法三：同上得F 为AB中点，CF=5，∠1=∠A,且由翻折可得出DE⊥CF且DE平分CF，即CG=1/2CF=5/2，Rt△CDG中，os∠1=CG/CD=4/5,求得CD=25/8，如下图示：

【反思】这几种都是常见的方法，但是计算量却相差很多，在解题时，要善于观察、分解图形，寻找出基本图形，那么就能找到最快的方法。

特别说明：

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