九上期末质检复习系列——纯函数系列(7)(上海宝山区一模)
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（2018•上海宝山区一模）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；
（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．
【图文解析】
（1）由k＝2018＞0可知，反比例函数y=2018/x在当1≤x≤2016（即闭区间[1，2016]）时，y随x的增大而减小．而且当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1，所以1≤y≤2106．再根据“闭函数”的定义（即对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”）．因此反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2016]上的“闭函数”．
详细过程如下：
∵k=20180，∴当1≤x≤2016时，y随x的增大而减小．
∴当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1．
∴1≤y≤2106．
∴反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2016]上的“闭函数”．
（2）由二次函数y=x2﹣4x+k可得其对称轴为x=2，又由于a=1＞0，根据二次函数的性质可知函数y=x2﹣4x+k当x＞2时(即在闭区间[2，t]上)， y随x的增大而增大，同时：当x=2，y=k﹣4时，当x=t，y=t2﹣4t+k，根据“闭函数”的定义，可得k﹣4＝2且t2﹣4t+k＝t.解之即可.
详细过程如下：
∵对于二次函数y=x2﹣4x+k，其对称轴为x=2，且a=1＞0，
∴二次函数y=x2﹣4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大．
∵二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，且当x=2时，y=k﹣4，x=t时，y=t2﹣4t+k．
解得k=6，t=3，t=﹣2（舍）；
（3）由（2）知：二次函数y=x2﹣4x+6＝(x－2)2+2是闭区间[2，3]上的“闭函数”.
由已知“二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点”，得A（2，2），C（0，6）.
因“B为直线x=1上的一点”，所以可设B（1，t），如下图示：
通法：（计算较繁）
如下图示：
由勾股定理，不难得到:
AC2=22+(2﹣6)2，
AB2=(2﹣1)2+(2﹣t)2，
BC2=12+(t﹣6)2，
当△ABC为直角三角形时，显然要分成三种情况，
①当∠ABC=90°时，AB2+BC2=AC2，
即(2﹣1)2+(2﹣t)2+(t﹣6)2+1
=22+（2﹣6）2，
化简，得t2﹣8t+11=0，
②当∠BAC=90°时，AB2+AC2=BC2，
即(2﹣1)2+(2﹣t)2+22+(2﹣6)2
=12+（t﹣6）2，
化简，得8t=12，
解得t=3/2，所以B（1，3/2）.
③当∠ACB=90°时，AC2+CB2=AB2，
即22+(2﹣6)2+12+(t﹣6)2
=(2﹣1)2+(2﹣t)2，
化简，得2t=13，
解得t=13/2，所以B（1，13/2）.
当然可用下列方法（构成K型相似）：（如下图示）.
【反思】重点理解“新定义（闭函数）”的概念是解题的关键是利用的定义，第（3）小题要注意分类讨论．
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