【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(4)(45度与正方形)
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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】已知，正方形ABCD中，点M点在边BC上，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转时，判断AH与AB的数量关系？并说明理由；
（2）如图②，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
【图文解析】
（1）
所以△ANM‘≌△ANM，且MN＝M‘N，从而S△AN M‘=S△ANM.
又AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，所以AB=AH．
(上述是通过面积公式得到)
当然也可经过再一次全等(△ADN≌△AHN)或者利用“角平分线的性质”得到AH=AD=AB.如下图示：
【拓展】将原试题中的“点M在边BC上”改为“点M在边BC(或CB)的延长线上”，AB=AH，仍成立吗？为什么？
【解析】如下图示，结论仍然成立.
实际上，还能得到：
当点M在边BC上时，MN＝BM+DN，当点M在边BC的延长线上时，MN＝BM－DN，当点M在边CB的延长线上时，MN＝DN－BM.
（2）如下图示，
本题解法非常多（至少有十五种以上，但多数方法用相似或三角函数或构造辅助圆），有兴趣的朋友可以到本人的云课（优思数学网：文章后面有详细地址）中的“一线三等角的相关变式应用(45度的角相关)“视频讲解.本文就从第（1）题的结论出发，进行解析，注意体会图形的演化与构成：
先观察图形的演变：
因此，可以可还原成原图求解：
还原1：
显然可以勾股定理，求得：
即(x－2)2+(x－3)2=(2+3)2
解得x1=6，x2=－1（舍去）.
还原2（变式的还原）
其他解法（这里不再叙述）.
【拓展】
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