2018年北京海淀初二期末调研第26题－截长补短和倍长中线的全等构造四种解法
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【试题】如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB、PC与PE之间的数量关系，并证明．
【图文解析】
【挖掘隐含条件】
（１）审题：题目中点A与点D关于CN对称，根据轴对称的性质可以得到多 少个等腰三角形？（△ACD,△BCD）
（２）△ACD具备什么性质？（三线合一∠ACE=∠DCE=α，CE垂直平分AD）.
（３）结论求∠BCD的大小，利用三角形内角和，就迎刃而解∠BCD＝60°－α.
【再次探究隐含条件】
（１）图中还哪些角的数量关系可以发现？（∠ABD,∠ADC,∠ADB也用含α的式子如何表示，∠ADP＝？） 可以发现∠ABD＝∠ABC-∠BCD=α,∠ADC=90°-α,∠ADB=∠ADC-∠BCD=30°.
初三根据ＢＣ=ＡＣ=ＤＣ根据圆的定义，以点Ｃ圆心，ＡＣ为半径作圆Ｃ，根据圆周角和圆心角的关系可以得到∠ＡＤＢ＝１/２∠ＡＣＢ＝30°
【图文解析】
从结论可以看出用等式表示线段PB、PC与PE之间的数量关系，证明线段的和、差、倍、分等类的题目可以采用截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
法一：截长法
在BP上截取FP=CP可以证△PFC是等边三角形，△BCF全等于△DCP证BF=DP再在△DEP利用中利用３0°所对的直角边是斜边的一半可以得出PB= PF +BF=PC+2PE.
法二：补短法
在BP上截取FP=EP可以证△BAF全等于△CAE证BF=CE,再△APF全等于△APE可以得出PB= PF +BF=PC+2PE.
法三：旋转法：把线段CP绕P点顺时针旋转60度.
思路类似解法一，这里略去
法四：作垂直
在过点Ａ点作ＡＦ垂直ＢＤ于Ｆ点，可以证△APF全等于△APE,再△ABF全等于△ACE可以得出PB= PF +BF=PC+2PE.
法五：倍长中线
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形。
根据点Ｅ是ＡＤ中点，可以延长ＰＥ使得ＦＥ＝ＥＰ,连接ＡＦ,ＡＰ可以得到三角形ＡＦＰ是等边三角形再证三角形ＡＢＰ全等于三角形ＡＣＦ（手拉手全等模型）
【反思】
小结：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等.
（1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形.
（2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
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