九上期末质检复习系列——纯函数系列（9）

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【试题】在平面直角坐标系xoy中，抛物线C：y=mx²+4x+1．

（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）若抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；

（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：

      关于x的方程x﹣4=（a－3）/x在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．

——试题来源于网络

【图文解析】

（1）简析：直接把点A（﹣5，6）代入抛物线解析式y=mx²+4x+1，可求得m＝1，则y=x²+4x+1=（x+2）²﹣3.因此抛物线的顶点为（﹣2，﹣3）.

（2）由抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，结合抛物线的草图（如下图示），可以得到：

      当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可；

      所以有：

【反思】抛物线y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），等价于：“关于x的一元二次方程mx²+4x+1＝0（m＞0）的两个实数根x_1,2满足0 ≤x_1,2≤－1.

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（3）将方程x﹣4=(a－3)/x去分母，整理后，可得：x²﹣4x﹣a+3＝0.

      由上述解题思路可知：方程x﹣4=(a－3)/x在0＜x＜4范围内有两个解，即抛物线y=x²﹣4x﹣a+3与x轴在0＜x＜4范围内有两个交点，如下图示，结合图象可知当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0.

【反思】抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

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