九上期末质检复习系列——纯函数系列（11）
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【试题】已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．
（1）求C1的顶点坐标；
（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．
【解析】
（1）简析：由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0或者△＝0，由此可以求m的值．
因y=x2+2x+m=（x+1）2+m﹣1，对称轴为直线x=﹣1，且与x轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0，C1的顶点坐标为（﹣1，0）.
或：由△=22-4m=4－4m=0，解得m=1，…….
（2）因将抛物线上下平移，因此可设所求抛物线解析式为y=（x+1）2+k，同时平移后的抛物线经过点A（﹣3，0），直接代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；详细过程如下：
设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，把A（﹣3，0）代入上式得（﹣3+1）2+k=0，得k=﹣4，
∴C2为y=（x+1）2﹣4．
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且与x轴的一个交点为A（﹣3，0），
∴根据抛物线的对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）.
（3）解题思路：由于y=x2+2x+m=（x+1）2+m﹣1，所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1，根据二次函数的图象的性质可知：当x≥﹣1时，y随x的增大而增大，因此应分n≥﹣1和n≤﹣1两种情况进行讨论，进一步得到n的取值．具体分析如下：
因当x≥﹣1（对称轴的右边）时，y随x的增大而增大，所以：
当n≥﹣1时，由“P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2”可知：因为y1＞y2，所以n＞2．
当n＜﹣1时，因对称轴为x=－1，P（n，y1）的对称点坐标为（﹣2﹣n，y1），且﹣2﹣n＞﹣1.由“P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2”可知：因为y1＞y2，所以﹣2﹣n＞2，即n＜﹣4．
综上所述：n＞2或n＜﹣4．
【反思】抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，结合抛物线平移的性质和增减性（单调性）进行分析是解题的关键．
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