九上期末质检复习系列——纯函数系列（12）
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【试题】已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0．
（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；
（2）若二次函数y1=mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；
①求二次函数y1的解析式；
②已知一次函数y2=2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）条件下，若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式．
【解析】
（1）题目并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
①当m=0时，原方程可化为3x﹣3=0，即x=1，显然有实数根；
②当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，可根据一元二次方程的根的判别式△，然后结合△的非负数的性质进行证明．
由于△=[﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0，所以方程有两个实数根.
综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根．
（2）①由于原二次函数y1=mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3的图象关于y轴对称，所以有3(m﹣1)=0且m≠0，即m=1；因此所求的解析为y1=x2﹣1．
②根据题意，可用下列三种常用方法进行求解.
法一 求差法：由于y1﹣y2=x2﹣1﹣(2x﹣2)=(x﹣1)2≥0，所以y1≥y2（当且仅当x=1时，等号成立）．
法二 求商法：由于y1/y2=(x2﹣1)/(2x－2)=(x+1)/2.
当y2＞0即2x﹣2＞0即x>1时，(x+1)/2>1，所以y1/y2＞1且y2>0,去分母，得：y1＞y2；
当y2＜0即2x﹣2＜0即x＜1时，(x+1)/2＜1，所以y1/y2＜1且y2＜0,去分母，得y1＞y2；
当y2＝0即2x﹣2＝0即x＝1时，通过计算显然有y1＝y2＝0.
综上所述，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立.
法三 图象法：分别画出对应的函数y1和y2的图象，如下图示，
又由x2－1=2x－2得x2－2x +1=0，得x1=x2=1，由此得到：抛物线y1=x2﹣1与直线y2=2x﹣2只有一个公共点（即x=1）.
结合图象可知：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立.
对比上述三种方法，显然“求差法”快速方便，但每一种解法均有借鉴意义，也是最常见的比较大小的方法.
（3）根据②的结论知：y1、y2的交点为（1，0），由于“对应x的同一个值y1≥y3≥y2成立”，再结合上述图象可知：三个函数的图象都应交于（1，0）.又因y3=ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），因此可设y3=a（x﹣1）（x+5）=ax2+4ax﹣5a.
再利用“求差法“有：
设y=y3﹣y2=ax2+4ax﹣5a﹣（2x﹣2）=ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）；
由于“对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立“，如下图示.
又根据y1、y2的图象知：a＞0，所以y=ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）≥0（其中a>0），即开口向上的抛物线y=ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）永远在x轴或x轴的上方.因此有：
△＝（4a﹣2）2﹣4a（2﹣5a）≤0，即（3a﹣1）2≤0，又（3a﹣1）2≥0，所以3a－1＝0，解得a=1/3.
因此所求的抛物线解析式为：
【反思】理解二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式，是解题的关键．
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