【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(5)(正方形与等腰三角形)
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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】如图，正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC=2∠ABE．
【图文解析】
（1）简析：可能通过全等，得到证明，如下图示，
不难证明△ABE≌△DAF（ASA），得到DF＝AE＝0.5AD＝0.5CD，因此F是CD的中点.
（2）与“中点”相关的常见辅助线：倍长对应线段，或因ABCD是正方形，因此延长BF或AF，可达到同样的效果），如下图示：
通过全等，不难得到BC＝CG，同时∠ADG＝1800，得到A、D、G三点共线.
由于BM=DM+CD，BC＝CD，所以BM＝DM+BC＝DM+DG＝GM．如下图示，进一步地，得到：
不难得到：∠MBC＝∠AMB＝∠MBC+∠G＝2∠G.
同时，不难证得：△ABE≌△DGF（SAS），得到∠G＝∠ABE.
综上，∠MBC=2∠ABE．
当然也用如下的办法（类似上面的分析，下面只给出图解）：
【反思】从解析过程中，还能得到MF⊥BF这个结论.解答中还充分运用了等腰三角形的性质.
【拓展1】如图，正方形ABCD中，E为AD边上的点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．求证：∠MBC=2∠ABE．
【拓展2】如图，正方形ABCD中，E为AD边上的点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有FM⊥BF．求证：∠MBC=2∠ABE．
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