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2017-2018年度福建福州九上质检倒二题解析

2018-01-31 福清文光 林晓文 初中数学延伸课堂


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(2017-2018·福州九上质检倒一)

已知:ABCACB=90°AC=BC=4DAB的中点,P是平面上一点,且DP1,连接BPCP.

1)如图,当点P在线段BD上时,求CP的长;

2)当BPC是等腰三角形时,求CP的长;

3)将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B',连接AB',求AB'的最大值.

【图文解析】

1)如下图示:

易知:CDABCD=

再由勾股定理可得:CP=3.

1)由DP=1 可知:点P在以点D为圆心,1为半径的圆上运动.


如下图示:

BPC是等腰三角形时,必须分三种情况讨论:

①当PB=PC时,点PBC的垂直平分线上,如下图示:

(注:第3小题的法一解题思路,在《顶尖中考微专题》的样章有详细介绍)

方法2: 轨迹法

当点P绕圆D运动时,点B’也相应地绕以点C’(将点B绕点D顺时针旋转90°得到点C’)为圆心,半径为根号2的圆运动.




方法3: 代数法(函数法)

以点C为坐标原点,BC所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,构造”一线三等角模型”;

设P(m,n); 如下图示:

      当然,除了可以以点C作为坐标原点,也可以以点D为坐标原点建立直角坐标系".



【反思】

1.    第2)小题中要求使等腰三角形成立时CP的长,不仅要分类讨论三种不同 的情况,同时还要保证使点P能够满足DP=1,所以还要再判断P的存在性.

2.    第3)小题,可以看成是”手拉手模型”的一种,所以要解决此类问题,最好要先体会如何构造”手拉手模型”.

3.    第3)小题中,还可以将题中的最大值,改换成最小值, 也可以求点P在运动的过程中,AB’的取值范围.



【牛刀小试】

如图,点O在线段AB上,OA=1OB=3O为圆心、OA长为半径作O,点MO上运动,连接MB,以MB为腰作等腰RtMBC,使MBC=90°MBC三点为逆时针顺序,连接AC,则AC的取值范围是_______.   

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