2017-2018年度福建福州九上质检倒二题解析

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（2017-2018·福州九上质检倒一）

已知:△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，P是平面上一点，且DP＝1，连接BP，CP.

1）如图，当点P在线段BD上时，求CP的长；

2）当△BPC是等腰三角形时，求CP的长；

3）将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B'，连接AB'，求AB'的最大值.

【图文解析】

1）如下图示：

易知：CD⊥AB，且CD=。

再由勾股定理可得：CP=3.

1）由DP=1 可知：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上运动.

如下图示:

当△BPC是等腰三角形时,必须分三种情况讨论:

①当PB=PC时,点P在BC的垂直平分线上,如下图示:

（注：第3小题的法一解题思路，在《顶尖中考微专题》的样章有详细介绍）

方法2: 轨迹法

当点P绕圆D运动时,点B’也相应地绕以点C’(将点B绕点D顺时针旋转90°得到点C’)为圆心,半径为根号2的圆运动.

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方法3: 代数法(函数法)

以点C为坐标原点,BC所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,构造”一线三等角模型”;

设P(m,n); 如下图示:

      当然，除了可以以点C作为坐标原点,也可以以点D为坐标原点建立直角坐标系".

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【反思】

1.    第2)小题中要求使等腰三角形成立时CP的长,不仅要分类讨论三种不同 的情况,同时还要保证使点P能够满足DP=1,所以还要再判断P的存在性.

2.    第3)小题,可以看成是”手拉手模型”的一种,所以要解决此类问题,最好要先体会如何构造”手拉手模型”.

3.    第3)小题中,还可以将题中的最大值,改换成最小值, 也可以求点P在运动的过程中,AB’的取值范围.

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【牛刀小试】

如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC的取值范围是_______.   

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