2017-2018年度福建南平九上质检倒二题解析
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(2017-2018南平九上质检倒二)
如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC.
(1)当点A在线段DF的延长线上时，
①求证：DA＝CE；
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；
(2)当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数.
【图文解析】
（1）思路分析：若连接AE（也是旋转内容中的一条最常用辅助线），不难得到共顶点的两等边三角形的基本图形，如下图示：
由此不难得到我们熟悉的思路和结论：
△BAD≌△BEC，得到：DA＝CE（第①小题已经得到证明），∠BCE＝∠BDA＝0.5∠BDC＝300， 由此又得到∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝600+300＝900，从而△DCE是直角三角形，所以∠DEC+∠EDC＝900（第②小题也得到证明），如下图示：
实际上，进一步还能得到：所在的直线相交构成的锐角为600（如有困难，之前本公众中的“（超前自学）七升八“系列中有类似文章，这里不再重复.
(2)当∠DEC＝45°时，由(1)∠DEC+∠EDC＝900，可得到∠EDC＝450，从而△DCE为等腰直角三角形. 因点A在直线DF上，所以要分三种情况：
情况一：点A在DF的延长线上，如下图示，
结合刚才结论，不难得到：
可得到△BAC≌△EAC，得到∠BCA＝∠ECA＝0.5∠BCE＝0.5×300＝150，又因DF⊥BC，且△BCD是等边三角形，有DA垂直平分BC，进一步有AB＝AC，得到∠ABC＝∠BCA＝150，因此∠BAC＝1800－150×2＝1500.如下图示：
情况二：点A在FD的延长线上，如下图示，（只做图解，解法类似）
∠BAC＝150×2＝300
情况三：点A在线段DF上时，如下图示， 由（1）知CE＝DA＜DF＜DC（因垂线段最短，故DF＜DC）.
综上所述，∠BAC＝1500或300.
【反思】一般全等或相似的三角形通过旋转，可得另一对相似（旋转相似），若为等边三角形通过旋转可得一对全等（旋转全等）.
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