2017年广东深圳中考填空压轴(旋转相似与辅助圆)

Original 2018-02-02 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

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（2017·深圳填空倒一）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　．

【答案】3

【图文解析】

法1：由∠EPF＝∠ABC＝90°，想到有90°建立旋转相似型和矩形，转换边的关系来解决问题．

【基本思路】

过点P作PR⊥AB，PS⊥BC，易证△PSF∽△PRE，即有PR∶PS＝PE∶PF＝2．

又结合矩形PRBS，设RB＝PS＝x，则BS＝PR＝2x，由PR∥BC，可证△ARP∽△ABC，即有AP∶AC＝AR∶AB＝RP∶BC，代入得(3－x)∶3＝2x∶4，x＝1.2，所以AP∶AC＝3∶5，AP＝3．

【反思1】旋转相似型和A型相似，结合矩形对边相等，对于这类直角三角形斜边上一直角的问题，往往能找出一条解题思路．

法2：辅助圆，由四边形对角均为90°，考虑连接EF，以EF为直径作圆，即过E，B，F，P四点．

【基本思路】

连接EF，以EF中点O为圆心，OE为半径作圆，连接BP，作PG⊥BC于G．

E，B，F，P四点共圆，故∠PBE＝∠PFE，tan∠PBE＝tan∠PFE＝PE∶PF＝2，tan∠BAC＝BC/AC＝4/3，设PG＝x，则GA＝3x/4，GB＝x/2，GC＋GB＝4，可得x＝16/5，CG＝12/5，由勾股定理，AP＝3．

【反思2】共斜边直角三角形想圆，辅助圆一出，就可以利用同弧所对的圆周角相等进行换角，利用三角函数解决问题．

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