2017-2018年度福建宁德九上质检倒二题解析
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(2017-2018宁德九上质检倒二)
如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF.
（1）求证：AE＝AF；
（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由.
【图文解析】
（1）属于常规题，根据正方形的性质和已经条件BE＝DF，不难得到证明，只做图解，如下图示：
通过△ABE≌△ADF（SAS），不难得到AE＝AF.
【拓展】
若点E在BC或CB的延长线上，对应点F在CD上或CD的延长线或DC的延长线上，结论仍然成立，如下图示：
（2）由（1）证得△ABE≌△ADF ，得到：AE＝AF，且∠BAE＝∠DAF，从而∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝900.所以△EAF是等腰直角三角形.如下图示：
由等腰直角三角形EAF，容易想到等腰三角形的相关性质“三线合一”，结合图形可以大胆猜想：如果能证明M是EF的中点（即ME＝MF）即可得到AM⊥EF，且AM＝0.5EF.
进一步地思考，要想证明ME＝MF，显然可以通过两个三角形全等，直接在图中找与ME、MF有关的两全等三角形不可能。但ME在△BME中，MF在△DMF中，因此需将这一大一小的两三角形进行“改造”，于是就有了下而两种解法：
法一：“大改小”——充分利用450的角得到等腰直角三角形.如下图示：
法二：“小改大”——充分利用450的角得到等腰直角三角形.如下图示：
法三：解析法，此法虽似麻烦（有点“暴力”），但对所有的正方形和矩形、菱形背景的试题均适用，建议也好好思考一下。如下图示：
设正方形的边长为1，BE＝DF＝t，则直线BD为y=x.再通过E（t，0）和F（1，1+t）求出直线EF的解析式（用t表示），然后联立直线BD和EF求出M点的坐标为（0.5（1+t）,0.5(1+t)）,最后根据平行线分线段成比例定理，可得到ME＝MF，如下图示：
【拓展】
若点E在BC或CB的延长线上，对应点F在CD上或CD的延长线或DC的延长线上，其他条件不变，结论仍然成立，如下图示：
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