2017-2018年度福建宁德九上质检倒一题解析
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2017-2018宁德九上质检倒一
如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为P.
（1）若b=6，c=－5，求A，B两点的坐标；
（2）过点P作PE⊥y轴于点E，若点A的坐标为（1，0），且四边形ABPE是平四边形，求b，c的值；
（3）若b=7，且点A，B在点（1，0）与点（5，0）之间，求c的取值范围.
【图文解析】
（1）常规题，简析如下：
直接将b=6，c＝－5代入y=-x2+bx+c得：y=-x2+6x－5.当y=0时，-x2+6x－5＝0，解得x1=1，x2=5，所以A（1，0），B（5，0）.
（2）先画出符合条件的草图，如下图示：
法一：设抛物线为y=-(x-h)2+k，由抛物线经过A（1，0）得：-(1-h)2+k＝0，即k=(1-h)2……(＊).
同时当四边形ABPE是平行四边形时，有AB＝PE，而AB＝2（xP-xA）=2（h－1），PE= xP=h，所以2（h－1）=h，解得h=2，代入上式(＊)得：k=1，所以抛物线的解析式为：y=-(x-2)2+1，即y=-x2+4x－3，所以b=4，c＝－3.
法二：直接由y=-x2+bx+c可得xP=0.5b，再由AB＝2（xP-xA），且AB＝PE，可求b的值，最后再将A点坐标代入抛物线解析式，可得到c的值.（计算量相对大些）
（3）此类问题最理想的解法是：结合图象（草图）进行分析——数形结合思想。当b=7时，抛物线为y=-x2+7x+c，其中抛物线的形状大小已经确定，对称轴也确定，因此当c改变时，抛物线相当于“顶点在直线x=3.5上进行平移，相应地抛物线在直线x＝3.5上随着顶点平移。如下图示：
由图象可以得出，当点A，B在点（1，0）与点（5，0）之间时，抛物线必须符合两个条件：一是当x=1或5时，对应的函数值必须为负，二是抛物线与x轴有两个交点.因此有：
所以-12.25＜c＜-10.
【点评】第1、2两小题属于常规题，难度不大，熟练掌握相关概念和性质，不难求解，第3小题需结合函数图象进行求解，掌握特殊点（x=1或x=5）的函数值与抛物线与x轴交点间的关系是解决问题的关键。第3小题可拓展空间较大。
【拓展】若第3小题改为以下几个小题，朋友们试试看，如何求解？（并注意与原题的区别）
①已知M（1，0），N（5，0），当b=7时，抛物线与线段MN有交点，求c的取值范围.
②已知M（1，0），N（5，0），当抛物线经过点（2，4），且与线段MN有交点，求c的取值范围.
（本拓展题仅作为思考，不给出答案，若有兴趣可以到对应Q群或微信群中讨论交流.）
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