2017-2018年度福建漳州九上质检倒二题解析
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(2017-2018漳州九上质检倒二)
如图1，菱形ABCD中，∠B＝120°，点E，F分别在AD，AC上，EF∥CD.
（1）直接写出CF与DE之间的数量关系：_______________；
（2）将△EAF绕点A逆时针旋转到如图2所示，连接DE，CF，求CF与DE的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若EF交AD于H，DE∥AF，AH·DH＝2，求EH·CH的值.
【图文解析】
(1)如下图示：由EF∥CD，可得到：AE：DE＝AF：CF，根据比例性质，可得：AE×CF＝DE×AF，进一步又可以得到：CF：DE＝AF：AE.
在△AEF中，由菱形的性质，不难得到：∠DAF＝0.5∠DAB＝0.5×600＝300，由特殊角300不难想到构造直角三角形：过E点作EG⊥AC于G，如下图示：
（2）又是一道“旋转相似”的试题，之前已有多篇文章叙述（其中九地市的期末质检试题中也有挺多地区考查到），不做详细解析，只做图解，如图示：
（3）除了有上述“旋转相似”外，多了条件DE∥AF，显然必有与之相关的更强的结论，为此应围绕“点H”相关的线段与角重点考虑。
由（1）结合DE∥AF可得：
又由△FAC∽△EAD可得：∠AFC＝∠AED＝1500，所以∠EFC＝1800，即E、F、C三点在同一直线上.如下图示：
为此只需证明△AHE∽△CHD，就可以将所求的EH·CH进行转化为AH·DH(已知).如下图示，显然△AHE∽△CHD.
【点评】从最基本最常见的特殊菱形(含60度)的“特殊”出发，通过旋转到“一般”，再到“特殊”(DE∥AF)，试题编制非常完美，问题设计也巧妙，第3问虽难度较大，但如果围绕特殊的条件(DE∥AF)结合“一般”得到的结论，也不难突破，当然证明E、F、C三点成一线是本题的关键。同时本题可拓展的空间也大。如将条件弱化：特殊的菱形改为一般的菱形，旋转前的条件EF∥CD改为一般的能使△AEF与△ACD相似的条件；又如：将条件强化将菱形改为正方形、改为矩形等；又如将结论“深化”为求相关点路径或最值问题等，也不难编制。
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