2017-2018年度福建莆田市城厢区九上质检倒二题解析

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（2017-2018莆田市城厢区九上）已知等腰△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=m°，∠DAE=∠BAC，∠DAE的两边交直线BC于点D、E，将△ABD绕着点A逆时针旋转m°，得到△ACD'，连接D'E|.

（1）当m=90时，易得△CD'E为直角三角形（如图1），从而得到DE²=BD²+CE²（不要求证明）.

（2）在（1）的条件下，当点D在CB的延长线上（如图2）时，上述结论是否仍然成立？证明你的结论：

（3）当m=60时（如图3），若点D、E在射线CB上，且△CD'E为直角三角形，求BD的长.

【图文解析】

      （1）虽然无需证明，然而往往是接下来题目的思路，所以需要研究，并思考如何得证。

【基本思路】

由图中两组全等，从而得到证明。

（2）第二问类似：

简述如下：

(2)    证明：上述结论仍然成立，理由如下：

易证：△ACD'≌△ABD（SAS），CD'=BD，不难证明△AD'E≌△ADE（SAS），ED=ED',∠ACD'=∠ABD=135°，又∠ACB=45°，∴∠ECD'=90°，

在Rt△CD'E中，CD'²+CE²=D'E²

即DE²=BD²+CE²;

（3）

这里依然容易证明:同（2）可得：

△ACD'≌△ABD（SAS），

△AD'E≌△ADE（SAS），

CD'=BD,∠D'CE=∠DBA=120°，

∴∠D'CE=60°

①如下图，当D'C⊥D'E时，设BD=CD'=a，CE=2a，BE=1-2a，

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【反思】半角模型是初中数学里经常见到的图形，旋转体现出角度和的不变量是常见的辅助线，这里转化成对称模型，是难点，有兴趣的读者可以思考下，简化的原理是什么。

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