七下尖子生培优系列 ——相交线平行线(2)

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【例题】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，

(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；

(2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数(用含α的式子表示)；

(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？

【分析】第(1)(2)两问，均属于同一个问题.根据“平角的定义”可得∠AOF＝180⁰－∠AOE，又由“角平分线的性质”得∠FOC＝0.5∠AOF；再根据“对顶角相等”得∠EOD=∠FOC；由“垂直的定义”得到∠AOB＝90⁰，同时由“角的和差计算”得：∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，进一步得到：∠BOD=∠EOD﹣∠BOE.如下图示：

      再根据上述结果不难找出它们之间的倍数关系．

【详细解答过程】

（1）∵∠AOE+∠AOF=180°

　　　（邻补角的定义），

∴∠AOF=180°－∠AOE，

　　　＝180⁰－40⁰＝140°；

又∵OC平分∠AOF，

∴∠FOC=0.5∠AOF=70°，

∴∠EOD=∠FOC=70°

　　（对顶角相等）；

而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，

∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；

（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，

　　　（邻补角的定义）

　∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α；

 又∵OC平分∠AOF，

 ∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α，

 ∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α

   （对顶角相等）；

 而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，

 ∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；

（3）从（1）（2）的结果中不难观察出：∠AOE=2∠BOD．

【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.

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【练习】O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．

（1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；

（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；

（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立．

【解答过程】

（1）∵EO是∠AOB的平分线，

　　　∠AOB=130°，

∴∠AOE＝0.5∠AOB＝65⁰.

∵OB⊥OF，∴∠BOF=90°，

∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF

　　　=130°﹣90°=40°，

∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF

　　　=65°﹣40°=25°；

（2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，

      EO是∠AOB的平分线，

∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α，

∵∠BOF=90°，∴∠AOF=α﹣90°，

∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF

      　 =0.5α﹣（α﹣90°）

　　　=90⁰－0.5α；

（3）如下图示，

∵∠AOB=α，0°＜α＜90°，

∴∠BOE=∠AOE=0.5α，

∵∠BOF=90°，

∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE

        =90⁰－0.5α．

特别说明：

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